Matematik B-niveau

18.5 Regneregler

Regnereglerne for differentiation, dvs. hvordan man f.eks. differentierer en sum, en differens eller et produkt af to differentiable funktioner, bevises også vha. tre-trins-reglen.

Sætning 18.5.1 - Differentiation af sum

Hvis vi lader funktionen h betegne summen af de to differentiable funktioner f og g

h(x) = f(x) + g(x)

så er differentialkvotienten i x = x0 givet ved

h'(x0) = f '(x0) + g'(x0)

Bevis for sætning 18.5.1

Trin 1

Udtrykket for sekanthældningen for funktionen h opskrives.

Trin 2

Udtrykket reduceres ved at hæve parenteser, flytte rundt på led og opdele i to brøker.

Trin 3

Grænseværdien bestemmes, hvor det udnyttes, at grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne af de to led, hvilket blev postuleret som regel 1 i sætning 18.1.1.

At funktionerne f og g skal være differentiable betyder netop, at de to grænseværdier eksisterer, og at vi som symbol for grænseværdierne anvender mærke-symbolet.

Da vi nu ved at grænseværdien for h eksisterer, kalder vi den for h-mærke.

Sætning 18.5.2 - Differentiation af differens

Hvis vi lader funktionen h betegne differensen af de to differentiable funktioner f og g

h(x) = f(x) - g(x)

så er differentialkvotienten i x = x0 givet ved

h'(x0) = f '(x0) - g'(x0)

Bevis for sætning 18.5.2

Som ved beviset for sætning 18.5.1 opskrives udtrykket for sekanthældningen for h, parenteser hæves og led byttes rundt. Herefter indsættes yderligere g(x) og g(x0) i en minus-parentes, hvorved vi får de to brøker, som vi kender grænseværdien af. Resten af beviset, hvor grænseværdierne betragtes, sker som i beviset for sætning 18.5.1, hvor regel 2 i sætning 18.1.1 blot benyttes.

Sætning 18.5.3 - Differentiation af produkt

Hvis vi lader funktionen h betegne produktet af de to differentiable funktioner f og g

h(x) = f(x) ∙ g(x)

så er differentialkvotienten i x = x0 givet ved

h'(x0) = f '(x0) ∙ g(x0) + f(x0) ∙ g'(x0)

Bevis for sætning 18.5.3

Som ved beviset for sætning 18.5.1 opskrives udtrykket for sekanthældningen for h. I tælleren trækkes leddet f(x0) ∙ g(x) herefter fra, hvorefter det med det samme lægges til igen. Herved beholder tælleren sin værdi. Pointen med tricket er, at tælleren nu samles i to led ved hhv. at sætte den fælles faktor g(x) og den fælles faktor f(x0) udenfor parentes. Når brøken opdeles i to, vi får de to brøker, som vi kender grænseværdien af, ganget med hhv. g(x) og f(x0).

Grænseværdien bestemmes igen ved at betragte hvert led for sig. Da hvert led består af et produkt, anvendes regel 3 sætning 18.1.1, hvorfra vi får at grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne af de to faktorer. Da g er en differentiabel funktion og dermed en kontinuert funktion, er grænseværdien af g(x) for x gående mod x0 lig med g(x0). Det følger af definition 18.2.1. Nederst på denne side bevises, at differentiabilitet medfører kontinuitet.

Grænseværdien af det andet led bestemmes på tilsvarende måde. Dog skal vi bestemme grænseværdien af f(x0) for x gående mod x0. Da f(x0) er en konstant, kan regel 6 i sætning 18.1.1 anvendes.

Den endelige grænseværdi for sekanthældningen fås nu ved at samle de to ovenstående udtryk, hvorved sætning 18.5.3 er bevist.

Sætning 18.5.4 - Differentiabilitet og kontinuitet

Hvis funktionen f er differentiabel i x0 , så er f kontinuert i x0.

Bevis for sætning 18.5.4

Først opskrives grænseværdien af differensen f(x) - f(x0) for x gående mod x0. Ved at gange og dividere med (x - x0) og bruge regneregler for grænseværdier samt at f er differentiabel fås, at grænseværdien er lig med 0.

At grænseværdien af differensen f(x) - f(x0) for x gående mod x0 er lig med 0, må betyde at f(x) vil gå mod f(x0) for x gående mod x0. Da dette netop er definitionen på kontinuitet er sætningen bevist.

Page updated

Report abuse