Embedded Files
En grænseværdi aflæser vi f.eks. som et tal på y-aksen, når x-værdien nærmer sig en bestemt værdi. I dette afsnit bliver begrebet grænseværdi først illustreret med eksempler. Dernæst angives nogle egenskaber for grænseværdi.
Eksempel 18.1.1
Eksempel 18.1.1
I dette eksempel betragter vi funktionen
f(x) = x2
Vi vil undersøge hvilket tal funktionsværdien nærmer sig, når x-værdien nærmer sig 1. Vi kan lade x-værdien nærme sig 1 fra venstre side (hvor x-værdierne er mindre end 1) og fra højre side (hvor x-værdierne er større end 1).
Tabel 18.1.1 viser situationen hvor vi nærmer os 1 fra venstre side. Vi starter med en x-værdi på x = 0,9, som giver funktionsværdien f(0,9) = 0,92 = 0,81. Herefter lader vi x-værdien komme tættere på 1 ved at vælge x = 0,99, som giver funktionsværdien f(0,99) = 0,992 = 0,9801. Sidst i tabellen er vores x-værdi meget tæt 1, hvilket giver os funktionsværdien f(0,9999) = 0,99992 = 0,99980001.
Tabel 18.1.1. Funktionsværdien nærmer sig 1, når x-værdien nærmer sig 1 fra venstre side.
Hvis vi forestiller os, at vi vælger en x-værdi uendelig tæt på 1, så ser det ud til, at funktionsværdien bliver uendelig tæt på 1. På matematiksprog siger vi "Funktionsværdien går mod 1 for x gående mod 1 fra venstre". Det skrives på følgende måde
f(x) → 1 for x → 1-
Bemærk det lille minus-tegn øverst til højre for 1-tallet, som x nærmer sig. Det angiver, at vi nærmer os 1 fra venstre side.
Tabel 18.1.2 viser situationen, hvor vi nærmer os 1 fra højre side. Vi starter med en x-værdi på x = 1,1, som giver funktionsværdien f(1,1) = 1,12 = 1,21. Sidst i tabellen er vores x-værdi meget tæt 1, hvilket giver os funktionsværdien f(1,0001) = 1,00012 = 1,00020001.
Tabel 18.1.2. Funktionsværdien nærmer sig 1, når x-værdien nærmer sig 1 fra højre side.
Hvis vi forestiller os, at vi vælger en x-værdi uendelig tæt på 1, så ser det ud til, at funktionsværdien også her bliver uendelig tæt på 1. På matematiksprog siger vi "Funktionsværdien går mod 1 for x gående mod 1 fra højre". Det skrives på følgende måde
f(x) → 1 for x → 1+
Bemærk at der nu står et lille plus-tegn øverst til højre for 1-tallet, som x nærmer sig. Det angiver, at vi nærmer os 1 fra højre side.
Vores undersøgelse viser, at ligegyldig om vi nærmer os en x-værdi på 1 fra venstre side eller fra højre side, så vil funktionsværdien nærme sig 1. Da funktionsværdien nærmer sig det samme tal fra begge sider, siger vi, at grænseværdien for f er 1 for x gående mod 1. Vi kan skrive det med symboler på de to måder, som er vist i figur 18.1.1.
Symbolet lim læses "limes". Ordet kommer fra latin og betyder grænse.
På figur 18.1.2, hvor grafen for funktionen vises, kan vi se, at funktionsværdien nærmer sig 1, når vi nærmer os x = 1 fra både venstre og højre side.
Figur 18.1.1. Angivelse af grænseværdien for f.
Figur 18.1.2. Grænseværdien vist vha. grafen for f.
At grænseværdien for f, når x går mod 1, er 1, kunne vi have beregnet ved bare at indsætte x = 1 i regneforskriften
f(1) = 12 = 1
Sådan er det dog ikke altid, hvilket eksempel 18.1.2 viser.
Eksempel 18.1.2
Eksempel 18.1.2
I dette eksempel betragter vi funktionen
g(x) = ( x2 + 4x - 5 ) / ( x - 1 ) , x ≠ 1
Som det første lægger vi mærke til, at definitionsmængden for g er alle de reelle tal undtagen 1. Det skyldes, at vi kommer til at dividere med 0, hvis vi forsøger at beregne g(1). Funktionen er derfor ikke defineret for x = 1.
Vi vil undersøge hvilket tal funktionsværdien nærmer sig, når x-værdien nærmer sig 1. Som i eksempel 18.1.1 lader vi x-værdien nærme sig 1 fra venstre side og fra højre side.
Tabel 18.1.3 viser situationen hvor vi nærmer os 1 fra venstre side. Vi starter med en x-værdi på x = 0,9, som giver funktionsværdien g(1,1) = 5,9. Sidst i tabellen er vores x-værdi meget tæt 1, hvilket giver os funktionsværdien g(0,9999) = 5,9999.
Tabel 18.1.3. Funktionsværdien nærmer sig 1, når x-værdien nærmer sig 1 fra venstre side.
Hvis vi forestiller os, at vi vælger en x-værdi uendelig tæt på 1, så ser det ud til, at funktionsværdien bliver uendelig tæt på 6.
g(x) → 6 for x → 1-
Tabel 18.1.4 viser situationen, hvor vi nærmer os 1 fra højre side. Vi starter med en x-værdi på x = 1,1, som giver funktionsværdien g(1,1) = 6,1. Sidst i tabellen er vores x-værdi meget tæt 1, hvilket giver os funktionsværdien g(1,0001) = 6,0001.
Tabel 18.1.4. Funktionsværdien nærmer sig 1, når x-værdien nærmer sig 1 fra højre side.
Hvis vi forestiller os, at vi vælger en x-værdi uendelig tæt på 1, så ser det ud til, at funktionsværdien også her bliver uendelig tæt på 6.
g(x) → 6 for x → 1+
Vores undersøgelse viser, at ligegyldig om vi nærmer os en x-værdi på 1 fra venstre side eller fra højre side, så vil funktionsværdien nærme sig 6. Dvs. at grænseværdien for g er 6 for x gående mod 1.
På grafen for funktionen kan vi se, at funktionsværdien nærmer sig 1, når vi nærmer os x = 1 fra både venstre og højre side.
Figur 18.1.5. Angivelse af grænseværdien for g.
Figur 18.1.6. Grænseværdien vist vha. grafen for g.
Eksempel 18.1.3
Eksempel 18.1.3
I nogle tilfælde kan man ved en omskrivning af funktionens forskrift alligevel beregne grænseværdien, selv om x nærmer sig en værdi, hvor funktionen ikke er defineret. Vi betragter igen funktionen fra eksempel 18.1.2
g(x) = ( x2 + 4x - 5 ) / ( x - 1 ) , x ≠ 1
Da forskriftens tæller er et andengradspolynomium, kan vi undersøge om den kan faktoriseres vha. sætningen i afsnit 7.3. Faktoriseringen kræver kendskab til andengradspolynomiets rødder. Derfor aflæses a = 1, b = 4 og c = 5. Diskriminanten beregnes
d = b2 - 4∙a∙c = 42 - 4∙1∙(-5) = 16 + 20 = 36
Rødderne beregnes
Andengradspolynomiet kan nu omskrives på følgende måde
x2 + 4x - 5 = 1 ∙ ( x + 5 ) ∙ ( x - 1 ) = ( x + 5 ) ∙ ( x - 1 )
Ved at indsætte det faktoriserede udtryk for andengradspolynomiet i forskriften fås
g(x) = ( x + 5 ) ∙ ( x - 1 ) / ( x - 1 ) = x + 5 , x ≠ 1
Vi skal huske at beholde den oprindelige definitionsmængde for g, selv om det nu er muligt at beregne g(1). Når vi beregner g(1) = 1 + 5 = 6 får vi ikke funktionsværdien for g for x = 1. Vi får derimod grænseværdien for g for x gående mod 1. Da g(x) = x + 5 , x ≠ 1 kan vi forstå, hvorfor grafen for funktionen bliver en ret linje med det udprikkede punkt (1,6), som vist i figur 18.1.6.
Eksempel 18.1.4
Eksempel 18.1.4
I dette eksempel betragter vi funktionen
Vi vil undersøge grænseværdien for m, når x går mod 2, da det er her grafen for m skifter fra en ret linje til en parabel.
Når x nærmer sig 2 fra venstre beregnes grænseværdien som
m(2) = 2∙2 + 1 = 4 + 1 = 5
Dvs.
m(x) → 5 for x → 2-
Når x nærmer sig 2 fra højre beregnes grænseværdien som
m(2) = 22 - 10∙2 + 26 = 4 - 20 + 26 = 10
Dvs.
m(x) → 10 for x → 2+
Da m(x) ikke går mod samme grænseværdi for x gående mod 2 fra både venstre og højre, siger vi, at m ikke har nogen grænseværdi for x → 2. For hvilken af de to grænseværdier skulle vi vælge?
På figur 18.1.7 ses grafen for m(x).
Figur 18.1.7. Grænseværdien vist vha. grafen for m.
Eksempel 18.1.5
Eksempel 18.1.5
I dette eksempel betragter vi funktionen
h(x) = 5 / ( x2 - 4x + 4 ) , x ≠ 2
Definitionsmængden indeholder ikke x = 2, da denne værdi er en dobbeltrod i det andengradspolynomium
n(x) = x2 - 4x + 4
der står i forskriftens nævner. Vi vil derfor undersøge grænseværdien for h, når x går mod 2.
Parabelgrenene for n(x) peger opad da andengradskoefficienten a = 1. Da x = 2 er rod i n(x), vil n nærme sig nul oppe fra, når x nærmer sig 2 både fra venstre og fra højre. Det skriver vi som:
n(x) → 0+ for x → 2
5-tallet i tælleren for h vil derfor skulle divideres med et mindre og mindre positivt tal, jo tættere vi kommer x = 2. Værdien for h vil derfor blive større og større. Når vi kommer uendelig tæt på x = 2, vil funktionsværdien blive uendelig stor. Vi siger at grænseværdien for h er uendelig, for x gående mod 2.
h(x) → ∞ for x → 2
På figur 18.1.8 ses grafen for n(x) og h(x).
Figur 18.1.8. Grænseværdien vist vha. grafen for h.
Eksempel 18.1.6
Eksempel 18.1.6
I dette eksempel betragter vi funktionen
k(x) = ( x - 1 ) / ( x + 1 ) , x ≠ -1
Definitionsmængden indeholder ikke x = -1, da denne værdi giver nul i nævneren. Vi vil derfor undersøge grænseværdien for k, når x går mod -1.
Tælleren i forskriften går mod -1 - 1 = -2 for x → -1.
Når vi nærmer os x = -1 fra venstre side vil nævneren i forskriften gå mod 0 nedefra. F.eks. når x = -1,001 bliver nævneren lig med -1,001 + 1 = -0,001 og dermed et lille negativt tal. I dette tilfælde har vi altså
k(x) → ∞ for x → -1-
Når vi nærmer os x fra højre side vil nævneren i forskriften gå mod 0 oppefra. F.eks. når x = -0,999 bliver nævneren lig med -0,999 + 1 = 0,001 og dermed et lille positivt tal. I dette tilfælde har vi altså
k(x) → -∞ for x → -1+
Da k(x) ikke går mod samme værdi for x → -1 fra venstre og fra højre, har k(x) ikke nogen grænseværdi i x = -1.
På figur 18.1.9 ses grafen for k(x).
Figur 18.1.9. Grænseværdien vist vha. grafen for k.
Egenskaber for grænseværdi
Egenskaber for grænseværdi
Grænseværdier opfylder visse regler, når man regner på dem. Vi illustrerer reglerne med følgende to funktioner
f(x) = x - 2
og
g(x) = 0,5x2 - 2x + 2
Vi beregner grænseværdien for de to funktioner for x → 0.
f(x) → -2 for x → 0
g(x) → 2 for x → 0
som også kan aflæses i figur 18.1.10.
Figur 18.1.10. Graferne for de to funktioner.
Vha. de to funktioner opstiller vi følgende fire funktioner
h1(x) = g(x) + f(x) = (0,5x2 - 2x + 2 ) + (x - 2) = 0,5x2 - x
h2(x) = g(x) - f(x) = (0,5x2 - 2x + 2) - (x - 2) = 0,5x2 - 3x + 4
h3(x) = g(x) ∙ f(x) = (0,5x2 - 2x + 2) ∙ (x - 2) = 0,5x3 - x2 - 2x2 + 4x + 2x - 4 = 0,5x3 - 3x2 + 6x - 4
h4(x) = g(x) / f(x) = (0,5x2 - 2x + 2) / (x - 2) = (0,5 ∙ (x - 2)2) / (x - 2) = 0,5 ∙ (x - 2)
I h4(x) har vi faktoriseret g(x), da x = 2 er en dobbeltrod i g(x).
Nedenfor til venstre er grænseværdien for funktionerne h1 , h2 , h3 og h4 for x → 0 beregnet. Til højre er der lavet beregninger med grænseværdien for funktionerne f og g ligeledes for x → 0. Den første linje er sat op, så g(x) + f(x) står ud for h1(x) = g(x) + f(x). Ligeledes gælder, at regneoperatoren i hver af de andre tre linjer er den samme.
h1(x) → 0,5∙02 - 2∙0 = 0 for x → 0
h2(x) → 0,5∙02 - 3∙0 + 4 = 4 for x → 0
h3(x) → 0,5∙03 - 3∙02 + 6∙0 - 4 = -4 for x → 0
h4(x) → 0,5 ∙ (0 - 2) = -1 for x → 0
g(x) + f(x) → 2 + (-2) = 0 for x → 0
g(x) - f(x) → 2 - (-2) = 4 for x → 0
g(x) ∙ f(x) → 2 ∙ (-2) = -4 for x → 0
g(x) / f(x) → 2 / (-2) = -1 for x → 0
For alle fire linjer gælder, at resultatet til venstre er lig med resultatet til højre. Generelt gælder, at det ikke er nødvendigt at udlede forskriften for h1 , h2 , h3 og h4 for at bestemme deres grænseværdi for x → 0. Vi kan regne direkte med grænseværdierne. Dette leder os til følgende regneregler for grænseværdier.
Sætning 18.1.1 - Regneregler for grænseværdier
Sætning 18.1.1 - Regneregler for grænseværdier
Regel 1
Grænseværdien af en sum er lig med summen af grænseværdierne for leddene.
Regel 2
Grænseværdien af en differens er lig med differensen af grænseværdierne for leddene.
Regel 3
Grænseværdien af et produkt er lig med produktet af grænseværdierne for faktorerne.
Regel 4
Grænseværdien af en brøk er lig med kvotienten af grænseværdierne for tæller og nævner
Regel 5
Grænseværdien af et tal gange en funktion er lig med tallet gange funktionens grænseværdi.
Regel 6
Grænseværdien af en konstant er lig med konstanten.
Page updated
Report abuse