Man kan anvende binomialfordelingen til at konkludere på en meningsmåling. Figur 15.7.1 viser resultatet af folketingsvalget i 2019 (med grå søjler) og resultatet af en Voxmeter-meningsmåling fra foråret 2022 (med grønne søjler). Det ser ud til at liste A (socialdemokratiet) har haft en fremgang siden valget. Men kan vi nu også være sikre på det? I meningsmålinger spørger man jo kun ganske få personer i forhold til det antal personer, der stemmer ved et valg. Måske kunne fremgangen hos liste A skyldes, at man tilfældigvis havde spurgt relativt mange socialdemokratiske vælgere i meningsmålingen? 

Figur 15.7.2. Teststørrelsen på 298 tilhører ikke den kritiske mængde.

Liste A’s såkaldte stikprøveandel er 27,9%. Dvs. at 27,9% af de adspurgte valgte liste A. Men hvilken tilslutning har liste A i hele populationen? Umiddelbart vil vi svare at liste A’s populationsandel også er 27,9%. Det er det bedste estimat vi har. Da vi ved at populationsandelen højst sandsynlig ikke er lig med stikprøveandelen, indfører vi nu begrebet 95%-konfidensinterval. Konfidensintervallet beskriver den usikkerhed, der er på vores estimerede populationsandel.

Konfidens kender vi fra det engelske confident, der betyder pålidelighed eller sikkerhed. Vi vil altså opstille et interval, hvori vi med 95% sikkerhed kan sige, at populationsandelen befinder sig. Det vil altså være sådan, at hvis vi laver 100 meningsmålinger og bestemmer de tilhørende 100 konfidensintervaller, så vil vi forvente, at den sande populationsandel ligger i 95 af konfidensintervallerne.

Der er tradition for at vælge et 95%-konfidensinterval, fordi de 95% stort set er lig med sandsynligheden for, at et udfald ligger i intervallet på to spredninger til hver side fra middelværdien i normalfordelingen. Hvis Y er en normalfordelt stokastisk variabel gælder

P(µ - 2σ ≤ Y ≤ µ + 2σ) = 95,45%

Vi overfører vores forståelse af spredning fra normalfordelingen til også at gælde i binomialfordelingen. Da antalsparameteren er stor, kan de to fordelinger jo approximeres med hinanden.

Vores stikprøve betragtes nu som et binomialforsøg med antalsparameter n = 1067 og sandsynlighedsparameter p = 27,9%. Vores mål er at bestemme værdien for udtrykkene µ - 2σ og µ + 2σ i sandsynligheden P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ).

Middelværdien i stikprøven beregnes med formlen

E(X) = µ = n ∙ p = 1067 ∙ 0,279 = 297,69

Spredningen i stikprøven beregnes med formlen

σ = √(n ∙ p ∙ (1 - p)) = √(1067 ∙ 0,279 ∙ (1 - 0,279))  = 14,65

Vi kan nu beregne værdien af udtrykkene fra før

µ - 2σ = 297,69 - 2 ∙ 14,65 = 268,39

µ + 2σ = 297,69 + 2 ∙ 14,65 = 326,99

Da vi skal sige noget om hele populationen, omregnes de to værdier i stikprøven til procent, som så direkte kan overføres til populationen

268,39 / 1067 = 0,252 = 25,2%

326,99 / 1067 = 0,306 = 30,6%

Konklusionen er, at med 95% sandsynlighed ligger populationens vælgertilslutning hos liste A mellem 25,2% og 30,6%.

95%-konfidensintervallet kan udtrykkes som intervallet

[25,2% ; 30,6%]

eller ved hjælp af vores estimerede populationsandel som

27,9% ± 2,7%

Excel i WordMat

Vi kan bestemme 95%-konfidensintervaller ved hjælp af WordMats binomialfordelings-Excelark på fanebladet [Binomialtest]. Der indtastes n = 1067, p = 0,259 ud for [Forventet] og p = 0,279 ud for [Observeret]. Hvis det dobbeltsidet test vælges, angives konfidensintervallet, som vist i figur 15.7.4. Konfidensintervallet påvirkes ikke af typen af hypotesetest, det gør kun den kritiske mængde, som vi ikke er interesseret i nu.