Hvis b = 0 står andengradsligningen på formen

a∙x² + c = 0

Her kan man omskrive til den grundlæggende andengradsligning ved at trække c fra på hver side af lighedstegnet, og derefter dividere med a.

a∙x² + c - c = 0 - c

a∙x² = -c

a∙x² / a = -c / a

x² = -c / a

Vi bemærker, at der står et negativt fortegn på højre side af lighedstegnet. Da vi kun kan løse den grundlæggende andengradsligning, hvis x² er lig med et positivt tal, så skal enten a eller c være negativ, for at denne ligning har en løsning.

Hvis vi skal løse andengradsligningen

-2∙x² + 200 = 0

kan vi bruge omskrivningen fra eksempel 1 til at få

x² = -200 / -2

x² = 100

Tages kvadratroden af 100 fås ±10. Løsningen er derfor

x = -10 eller x = 10

Hvis vi skal løse andengradsligningen

3∙x² - 432 = 0

kan vi bruge omskrivningen fra eksempel 1 til at få

x² = -(-432) / 3

x² = 144

Tages kvadratroden af 144 fås ±12. Løsningen er derfor

x = -12 eller x = 12

Man kan ikke isolere x i den generelle andengradsligning a∙x² + b∙x + c = 0 ved, at benytte de metoder der virker, når man løser en førstegradsligning.

Hvis vi f.eks. forsøger at isolere x på venstre side af lighedstegnet, kan vi starte med at trække c fra på hver side

a∙x² + b∙x + c - c = 0 - c

a∙x² + b∙x = -c

Vi kan ikke samle de to led med hhv. x² og x til et led, da det er to forskellige typer af potenser. Vi får heller ikke noget ud af at isolere ledet med x² eller med x, da x'erne så bare bliver placeret på hver sin side af lighedstegnet:

b∙x = -c - a∙x² eller a∙x² = -c - bx

Vi kan kun få isoleret x, hvis vi på snedig vis anvender kvadratkomplettering. Herved kan vi nemlig omforme den generelle andengradsligning

a∙x² + b∙x + c = 0 (1)

til at stå på formen

(α∙x + β)² = γ (2)

En andengradsligning, som står på formen vist med formel (2), kan løses som vist i eksempel 2 i afsnit 4.7.1. Vi prøver nu at anvende kvadratkomplettering på formel (1). Kvadratkomplettering står beskrevet i afsnit 4.8, så læst først det afsnit, før der fortsættes med læsningen her.

Opgaven består i at finde ud af, hvad vi kan skrive i stedet for α, β og γ, så formel (2) kan omskrives til formel (1) vha. første kvadratsætning.

Det første led i formel (1), a∙x², indeholder x², og må derfor komme fra kvadratet på første led i parentesen i formel (2), α∙x. Det er jo det eneste sted i formel (2), hvor der står et x.

Hvad kan vi skrive i stedet for α så (α∙x)² = a∙x² ?

Vi kunne sætte α = (√a), fordi vi så vil have

(α∙x)² = ((√a)∙x)² = (√a)²∙x² = a∙x².

Det passer ind til videre. Men vi helst vil undgå at skulle angive α vha. en kvadratrod, for det giver højest sandsynligt ikke et helt tal. Så vi forsøger med noget andet.

Hvis første led i formel (1) havde været a²∙x² (i stedet for a∙x²), ville leddet kunne omskrives til et kvadreret tal, nemlig a²∙x² = (a∙x)².

Vi kan få første led i formel (1) til at være a²∙x², hvis vi ganger andengradsligningen igennem med a:

a∙(a∙x² + b∙x + c) = a∙0

a²∙x² + a∙b∙x + a∙c = 0 (3)

Bemærk at løsningen til andengradsligningen ikke ændrer sig ved, at vi ganger alle led med a. Så det er i orden at forsøge at omskrive formel (3), så den kommer til at stå på formen

(α∙x + β)² = γ (2)

Vi kan nu betragte første led i formel (3) a²∙x² som kvadratet på første led i parentesen i formel (2), hvis α = a, fordi der så vil gælde at (α∙x)² = (a∙x)² = a²∙x².

Passer det nu med at det andet led i formel (3), a∙b∙x, kan være det dobbelte produkt? Nej, det passer ikke så godt, fordi vi mangler et 2-tal i a∙b∙x, så det "dobbelte" mangler. Vi må justere lidt på omskrivningen.

Vi kan få et 2-tal med på det andet led i formel (3), a∙b∙x, hvis vi i stedet for ganger andengradsligningen igennem med 2a:

2a∙(a∙x² + b∙x + c) = 2a∙0

2a²∙x² + 2a∙b∙x + 2a∙c = 0 (4)

Nu har vi fået "det dobbelte" ind på andet led. Men til gengæld får vi et lille problem med første led i formel (4), 2a²∙x², fordi dette kun kan fremkomme hvis vi sætter hvis α = (√2)∙a. Det kan vi se, hvis vi laver beregningen

(α∙x)² = ((√2)∙a∙x)² = (√2)²∙a²∙x² = 2∙a²∙x².

Da vi ligesom i det første forsøg på kvadratkompletteringen helst vil undgå at arbejde med kvadratrødder, forsøger vi med noget andet.

For at undgå √2 fra tredje forsøg kan vi gange andengradsligningen igennem med 4a:

4a∙(a∙x² + b∙x + c) = 4a∙0

4a²∙x² + 4a∙b∙x + 4a∙c = 0 (5)

Vi sammenligner igen med formel (2)

(α∙x + β)² = γ (2)

Det første led i formel (5), 4a²∙x², kan være kvadratet på første led i parentesen i formel (2), α∙x, hvis vi sætter α = 2a, fordi

(α∙x)² = (2a∙x)² = 2²∙a²∙x² = 4a²∙x²

Passer det nu med at leddet 4a∙b∙x i formel (5) kan være det dobbelte produkt?

Ja, det passer perfekt, hvis vi sætter β = b fordi

2∙α∙x∙β = 2∙2a∙x∙b = 4a∙x∙b = 4a∙b∙x

Hvis β = b passer det så, at kvadratet på andet led i formel (2), β² = b², er 4a∙c ?

Nej, det passer ikke så godt, for vi kan jo ikke være sikre på, at a, b og c netop har nogle værdier, der opfylder sammenhængen b² = 4a∙c.

Da vi mangler et b² i formel (5), må vi justere lidt på omskrivningen.

Vi kan let få tilføjet det manglende led b² i formel (5) ved bare at lægge det til på hver side af lighedstegnet. Vi starter med formel (5), som vi adderer med b²

4a²∙x² + 4a∙b∙x + 4a∙c = 0 (5)

4a²∙x² + 4a∙b∙x + 4a∙c + b² = 0 + b²

4a²∙x² + 4a∙b∙x + 4a∙c + b² = b² (6)

Vi sammenligner igen med formel (2)

(α∙x + β)² = γ (2)

hvor vi sætter α = 2a og β = b og udregner vha. første kvadratsætning:

(α∙x + β)² = (2a∙x + b)²

(α∙x + β)² = (2a∙x)² + b² + 2∙(2a∙x)∙b

Ved at bruge potensregneregel 3 og reducere fås:

(α∙x + β)² = 2²∙a²∙x² + b² + 2∙2∙a∙x∙b

(α∙x + β)² = 4∙a²∙x² + 4∙a∙x∙b + b²

(α∙x + β)² = 4∙a²∙x² + 4∙a∙b∙x + b²

Resultatet passer stadig ikke helt med venstre side i formel (6), da der her optræder et ekstra led 4a∙c.

Heldigvis kan vi let få fjernet leddet 4a∙c ved bare at trække det fra på hver side af lighedstegnet i formel (6). Vi starter med formel (6), som vi subtraherer med 4a∙c

4a²∙x² + 4a∙b∙x + 4a∙c + b² = b² (6)

4a²∙x² + 4a∙b∙x + 4a∙c + b² - 4a∙c = b² - 4a∙c

4a²∙x² + 4a∙b∙x + b² = b² - 4a∙c (7)

Vi sammenligner igen med formel (2)

(α∙x + β)² = γ (2)

hvor vi stadig sætter α = 2a og β = b og som før udregner vha. første kvadratsætning:

(α∙x + β)² = (2a∙x + b)²

(α∙x + β)² = (2a∙x)² + b² + 2∙(2a∙x)∙b

Ved at bruge potensregneregel 3 og reducere fås:

(α∙x + β)² = 2²∙a²∙x² + b² + 2∙2∙a∙x∙b

(α∙x + β)² = 4∙a²∙x² + 4∙a∙x∙b + b²

(α∙x + β)² = 4∙a²∙x² + 4∙a∙b∙x + b²

Nu passer resultatet nøjagtigt med venstre side af formel (7). Ved at sammenligne de to højresider i formel (2) og (7) kan vi se, at der må gælde

γ = b² - 4a∙c

Bemærk at γ er blevet sat lig med det udtryk, som vi kalder for diskriminanten. Vi anvender symbolet d for diskriminanten. Dvs.

γ = d

Ved at indsætte de fundne udtryk α, β og γ i formel (2) får vi følgende andengradsligning

(2a∙x + b)² = d

Denne ligning løses på samme måde som ligningen (2x - 5)² = 169 fra eksempel 2 i afsnit 4.7.1. Her løser vi bare ligningen med bogstaver i stedet for med tal.

Først tages kvadratroden på hver side, hvor vi husker at medtage begge fortegn på højre side af lighedstegnet. Derefter isoleres x med simple omskrivninger:

(2a∙x + b)² = d

(2a∙x + b) = ± √d

2a∙x + b = ± √d

2a∙x + b - b = -b ± √d

2a∙x = -b ± √d

2a∙x / 2a = (-b ± √d) / 2a

x = (-b ± √d) / 2a , hvor d = b² - 4a∙c

I figur 4.7.2.1 vises formlen for x med korrekt matematisk notation.

For at finde frem til løsningsformlen til den generelle andengradsligning

a∙x² + b∙x + c = 0

gjorde vi følgende:

1. Gang andengradsligningen igennem med 4a.

2. Læg b² til på hver side.

3. Træk 4ac fra hver side.

4. Brug kvadratkomplettering på venstre side af lighedstegnet.

5. Indfør diskriminanten d = b² - 4a∙c på højre side af lighedstegnet.

6. Isoler x.