Embedded Files
Definition - Potensfunktion
Definition - Potensfunktion
En sammenhæng mellem to variable, x og y, kaldes for potensiel, hvis den kan skrives således:
y = b ∙ x a
hvor a er et hvilket som helst reelt tal, og b er et positivt reelle tal, b > 0.
En potensfunktion beskrives med regneforskriften
f(x) = b ∙ x a
Definitionsmængde
Definitionsmængde
Definitionsmængden for en potensfunktion er alle positive reelle tal (x > 0).
Dm(f) = R+
Dm(f) = ] 0 ; ∞ [
Værdimængde
Værdimængde
Værdimængden for en potensfunktion er også alle positive reelle tal (x > 0).
Vm(f) = R+
Vm(f) = ] 0 ; ∞ [
Grafer for potensfunktioner
Grafer for potensfunktioner
Pga. definitionsmængden og værdimængden for potensfunktioner vil grafen for en tilfældig potensfunktion altid kun eksistere i et koordinatsystems første kvadrant, og grafen vil aldrig røre koordinatsystemets akser. På figur 11.1.1 ses grafer for forskellige potensfunktioner, der alle har en b-værdi på 1. Funktionen f kaldes kvadratfunktionen. Funktionen g er kvadratrodsfunktionen. I afsnit 4.6 blev det forklaret, hvorfor en eksponent på 0,5 svarer til en kvadratrod. Funktionen h er den reciprokke funktion. Se mere om den reciprokke funktion længere nede på siden.
Måden hvorpå grafen for en potensfunktion krummer bestemmes af a-værdien. Bemærk at potensfunktioner, der har en a-værdi, som er mindre end nul (a < 0), har to asymptoter. For sådanne potensfunktioner gælder der at jo større x-værdien bliver, jo mere nærmer grafen sig x-aksen. Den ene asymptote er altså x-aksen. Der gælder også, at jo tættere x-værdien kommer på nul, jo tættere vil grafen nærme sig y-aksen. Den anden asymptote er altså y-aksen.
Figur 11.1.1. Grafer for tre forskellige potensfunktioner: Kvadratfunktionen f, kvadratrodsfunktionen g samt den reciprokke funktion h.
b-værdien
b-værdien
Hvis vi indsætter x = 1 i regneforskriften for en potensfunktion får vi
f(1) = b ∙ 1 a
Ligegyldig hvilken værdi a har, så vil vi altid have at 1 a = 1. Dvs. at regneforskriften reduceres til
f(1) = b
Det betyder med andre ord, at grafen for en potensfunktion altid går igennem punktet (1 ; b).
a-værdien
a-værdien
Tallet a har betydning for grafens krumning.
Når a er et negativt tal, dvs. a < 0, er grafen for potensfunktionen aftagende.
Når a er et tal mellem 0 og 1, dvs. 0 < a < 1, er grafen voksende, dog mindre og mindre jo større x bliver.
Når a er et tal større end 1, dvs. a > 1, er grafen voksende på en sådan måde, at væksten bliver hurtigere og hurtigere jo større x bliver.
Omvendt proportionalitet
Omvendt proportionalitet
Når a = -1 ser potensvæksten ud som
y = b · x -1
I dette tilfælde siger man at x og y er omvendt proportionale.
Fra afsnit 4.5 kender vi til potensbegrebet. Så vi ved hvordan udtrykket x -1 skal fortolkes, nemlig
x -1 = 1 / x
Dvs. at den omvendte proportionalitet også ser ud som
y = b · 1 / x
y = b / x
I udtrykket for den omvendte proportionalitet kan man isolere hhv. x og b. Så får man to andre formler der også udtrykker den omvendte proportionalitet mellem x og y
x = b / y
y · x = b
Den reciprokke funktion
Den reciprokke funktion
Hvis b-værdien i en omvendt proportionalitet er 1, bliver regneforskriften til
f(x) = 1 · x -1 = x -1
f(x) = 1 / x
Funktionen på ovenstående form kaldes for den reciprokke funktion til x.
Eksempel 1
Eksempel 1
For en gas ved en konstant temperatur er trykket p (målt i pascal) af gassen og rumfanget V (målt i m3) af den beholder gassen er i omvendt proportionale. Dvs. at sammenhængen kan opskrives som:
p = k · V -1 = k / V
hvor k er en konstant, som kaldes proportionalitetskonstanten eller proportionalitetsfaktoren. k-værdien svarer til b-værdien i forskriften for en potensvækst.
Eksempel 2
Eksempel 2
Arealet af rektangler kan beregnes ud fra deres bredde b og længde L på følgende måde
A = b · L
For alle rektangler med et areal på f.eks. A = 80 gælder der, at bredden er omvendt proportional med længden, fordi formlen kan omskrives til
80 = b · L
b = 80 / L
b = 80 · L -1
Page updated
Report abuse