En terning har ingen hukommelse. Hvis man kaster terningen to gange, vil sandsynligheden for at få 2 øjne ved andet kast være lig med sandsynligheden for at få 2 øjne ved første kast. Man siger, at de to kast er uafhængige af hinanden.

Vi vil bestemme sandsynligheden for at få 2 øjne med en terning to gange i træk vha. et tælletræ, som vist på figur 9.2.1.

Figur 9.2.1. Et tælletræ over kast med en terning to gange. Ruten optegnet med en orange farve viser udfaldet "2 øjne og 2 øjne".

I eksemplet ville vi have fået samme sandsynlighed ved at lave følgende beregning:

P( 2 og 2 ) = P( 2 ) ∙ P( 2  ) = 1/6 ∙ 1/6 = 1/36

Det viser sig, at denne metode altid virker til beregning af sandsynlighed ved uafhængige hændelser.

Sandsynligheden for et udfald kan nogle gange afhænge af om noget andet er sket i forvejen. Hvis der f.eks. trækkes to kort fra et almindeligt sæt spillekort med 52 kort, kan sandsynligheden for at få en hjerter som det andet kort både være uafhængig og afhængig af det første trukne kort. Det kommer an på hvad vi gør med det første trukne kort. Vi kan

• enten lægge kortet tilbage i stakken - så regner man "med tilbagelægning"

• eller vi kan lade være med at lægge kortet tilbage i stakken - så regner man "uden tilbagelægning".

Sandsynligheden for at trække en af de 13 hjerter som det første kort fra stakken med de 52 kort er

P( 1. H ) = 13 / 52

For at bestemme sandsynligheden for at trække en hjerter som det andet kort opdeler vi i en situation med tilbagelægning og en situation uden tilbagelægning:

Med tilbagelægning

Sandsynligheden for at trække en af de stadig 13 hjerter som det andet kort fra stakken med de 52 kort er

P( 2. H ) = 13 / 52

Uden tilbagelægning

Sandsynligheden for at trække en hjerter som det andet kort afhænger nu af, om det første trukne kort var en hjerter eller ej.

Hvis det første kort var en hjerter, er der 12 tilbageværende hjerter i stakken med de nu kun 51 kort. Sandsynligheden for en hjerter som andet kort er

P( 2. H ) = 12 / 51

Hvis det første kort ikke var en hjerter, er der 13 tilbageværende hjerter i stakken med de nu kun 51 kort. Sandsynligheden for en hjerter som andet kort er

P( 2. H ) = 13 / 51

I denne situation er sandsynligheden for at få en hjerter som andet kort afhængigt af udfaldet af første trækning.

Når man har defineret en hændelse A, kan man også betragte den modsatte hændelse. Den modsatte hændelse til A kaldes komplementærhændelsen (eller ikke-A). Vi bruger symbolet Ā.

Den komplementære hændelse til A i figur 9.2.2 er

Ā = { 1, 3, 5 }

Sandsynligheden for den komplementære hændelse til A er

P( Ā ) = "Antal gunstige udfald" / "Antal mulige udfald" = 3 / 6

Man kan sammensætte hændelser. F.eks. kan man betragte hændelsen at både A og C fra før sker samtidigt, dvs. "terningen viser lige øjne og den viser højest to øjne":

Både A og C = { 2 }

Sandsynligheden for denne sammensatte hændelse beregnes som før med sandsynlighedsformlen

P( både A og C ) = 1 / 6

Man kan også betragte hændelsen at enten A eller C sker samtidigt, dvs. "Enten viser terningen lige øjne eller også viser den højest to øjne":

Enten A eller C = { 1, 2, 4, 6 }

P( enten A eller C ) = 4 / 6 = 2 / 3

Selv om hændelsen A og hændelsen C til sammen indeholder 5 elementer, indeholder hændelsen "Enten A eller C" kun 4 elementer, da elementet 2 både er i A og i C.

Man kan også betragte hændelsen at både A og B sker samtidigt, dvs. "terningen viser lige øjne og den viser fem øjne":

Både A og B = {  }

P( både A og B ) = 0 / 6 = 0

Man kan også betragte hændelsen at enten A eller B sker samtidigt, dvs. "Enten viser terningen lige øjne eller også viser den fem øjne":

Enten A eller B = { 2, 4, 5, 6 }

P( enten A eller B ) = 4 / 6 = 2 / 3

Man kan også betragte sammensatte hændelser med komplementærmængden.

Både A og Ā sker samtidigt, dvs. "terningen viser lige øjne og den viser ulige øjne":

Både A og Ā = { }

P( både A og Ā ) = 0 / 6 = 0

Enten sker A eller Ā samtidigt, dvs. "Enten viser terningen lige øjne eller også viser den ulige øjne":

Enten A eller Ā = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

P( enten A eller Ā ) = 6 / 6 = 1

I eksemplet ovenfor indeholder A og B ikke noget fælles element, derfor kunne vi også have beregnet sandsynligheden for hændelsen "enten A eller B" på følgende måde:

P( enten A eller B ) = P( A ) + P( B ) = 3 / 6  +  1 / 6 = 4 / 6 = 2 / 3

Tilsvarende kan siges om A og Ā, da de heller ikke indeholder noget fælles element:

P( enten A eller Ā ) = P( A ) + P( Ā ) = 3 / 6  +  3 / 6 = 6 / 6 = 1