Embedded Files
En vektor har to koordinater: En førstekoordinat og en andenkoordinat. Førstekoordinaten angiver, hvordan man bevæger sig i vandret retning fra vektorens begyndelsespunkt til endepunkt. Andenkoordinaten angiver, hvordan man bevæger sig i lodret retning fra vektorens begyndelsespunkt til endepunkt.
Man skriver vektorens koordinater i en parentes med førstekoordinaten over andenkoordinaten.
Figur 13.4.1 viser to vektorer med deres koordinater. Man kan opløse vektorerne i to vektorer: En vandret og en lodret. Disse to vektorer kalder man hhv. for vektorens vandrette og lodrette komposant.
På figuren kan man se, at hvis en vektor er vandret, så har den en andenkoordinat på nul. Tilsvarende er en vektors førstekoordinat nul, hvis vektoren er lodret.
Figur 13.4.1. To vektorers koordinater.
I GeoGebra skrives en vektors koordinater vha. Tekst-værktøjet, hvor man skal angive teksten med LaTeX-formel. Figur 13.4.2a. viser hvordan man indtaster.
I WordMat skrives parentesen efterfulgt af mellemrumstasten. Dernæst flyttes cursoren ind i parentesen og der trykkes på Enter. Figur 13.4.2b. viser processen.
Figur 13.4.2a.
Først en parentes og mellemrum.
Så tastes Enter i parentesen.
Figur 13.4.2b.
Definition - En vektors koordinater
Definition - En vektors koordinater
En vektors koordinater angives lodret under hinanden i en parentes. Det øverste tal er vektorens førstekoordinat, mens den nederste tal er vektorens andenkoordinat.
Bemærk at a1 og a2 hver angiver et tal. Hvis der tegnes en vektorpil over a1 og a2 vil de angive hhv. den vandrette og lodrette vektor, som vektor a kan opløses i jf. figur 13.4.1.
Førstekoordinat: a1
Andenkoordinat: a2
Stedvektor
Stedvektor
Hvis man tegner en vektor med begyndelsespunkt i (0,0), vil vektorens koordinater angive vektorens endepunkt. En vektor, hvor endepunktet er lig med koordinaterne, kaldes for en stedvektor.
På figur 13.4.3 begynder vektor AB i A(0,0) og ender i B(4,-2).
Figur 13.4.3. En stedvektors koordinater.
Nulvektoren
Nulvektoren
Da nulvektoren har en længde på 0, vil dens begyndelsespunkt og endepunkt være sammenfaldende.
Da man derfor hverken bevæger sig et vandret stykke eller et lodret stykke for at komme fra begyndelsespunkt til endepunkt, har nulvektoren en førstekoordinat på 0 og en andenkoordinat på 0.
På figur 13.4.4 begynder nulvektor o i A(2,2) og ender i B(2,2).
Figur 13.4.4. Nulvektorens koordinater.
Forbindelsesvektor
Forbindelsesvektor
En forbindelsesvektor er en vektor der forbinde to punkter. På figur 13.4.5 er vektor PQ forbindelsesvektor mellem punkterne P og Q.
Da forbindelsesvektorens førstekoordinat er forskellen mellem endepunktets og begyndelsespunktets førstekoordinater, og da forbindelsesvektorens andenkoordinat er forskellen mellem endepunktets og begyndelsespunktets andenkoordinater, er følgende sætning bevist.
Figur 13.4.5. Forbindelsesvektor fra P til Q.
Sætning 13.4.1 - En forbindelsesvektors koordinater
Sætning 13.4.1 - En forbindelsesvektors koordinater
Koordinaterne for en forbindelsesvektor PQ, der går fra punktet P(x1, y1) til punktet Q(x2, y2), beregnes som vist i figur 13.4.6.
Figur 13.4.6.
Enhedsvektorens koordinater
Enhedsvektorens koordinater
Hvis man placerer en enhedsvektor med begyndelsespunkt i (0,0) og med en vilkårlig retningsvinkel v, vil dens endepunkt ligge på enhedscirklens periferi. Endepunktet er derfor et retningspunkt med koordinaterne (cos(v) , sin(v)), som nævnt i afsnit 12.1.
Da begyndelsespunktet er (0,0) vil denne enhedsvektor være en stedvektor. Ud fra definitionen af en stedvektor følger derfor, at enhedsvektorens koordinater er endepunktets koordinater som vist i figur 13.4.7.
Figur 13.4.7. Enhedsvektorens koordinater.
Eksempel 13.4.1 - Bestemmelse af enhedsvektor
Hvis retningsvinklen for en enhedsvektor er 65°, har den koordinaterne
Sætning 13.4.2 - Tværvektorens koordinater
Sætning 13.4.2 - Tværvektorens koordinater
Koordinaterne til tværvektor a findes ud fra vektor a ved at bytte rundt på koordinaterne og sætte et minus foran den nye førstekoordinat.
Figur 13.4.8. Tværvektorens koordinater.
Eksempel 13.4.2 - Bestemmelse af tværvektor
Hvis vektor a har koordinaterne
så har tværvektoren til vektor a koordinaterne
Bevis for sætningen 13.4.2
Bevis for sætningen 13.4.2
Forudsætningerne for at forstå beviset præsenteres i afsnit 13.5.
Ifølge sætning 13.5.3 gælder følgende om vektor a og dens ensrettede enhedsvektor.
Da vektor a har retningsvinklen v, har enhedsvektoren det ligeså. Derfor kan enhedsvektorens koordinater indføres.
Længden af vektor a ganges ind på enhedsvektorens koordinater.
Vektor a's førstekoordinat aflæses til
Vektor a's andenkoordinat aflæses til
For at finde tværvektoren til vektor a, drejes vektor a 90°. Tværvektoren er altså lig med vektor a, hvor retningsvinklen er ændret fra v til v + 90°.
Fra overgangsformlerne i afsnit 12.1 vides at
sin(v) = -cos(v + 90°) dvs. cos(v + 90°) = -sin(v)
samt at
cos(v) = sin(v + 90°) dvs. sin(v + 90°) = cos(v)
Ved at gange længden af vektor a ind på vektorens koordinater og sammenligne med koordinaterne for vektor a fås
Hermed er sætning 13.4.2 bevist.
Page updated
Report abuse