Grafen for en eksponentiel funktion kan forskydes på samme måde som grafen for et andengradspolynomium. Da vi i afsnit 7.3.1 parallelforskød parablen med forskriften  p(x) = a ∙ x2  til højre med størrelsen xT og opad med størrelsen yT , hvorved vi fik en ny parabel med forskriften  f(x) = a ∙ (x - xT)2 + yT , var det for at bestemme en formel til beregning af toppunktet for en vilkårlig parabel givet ved regneforskriften  f(x) = ax2 + bx + c .

Vi laver vandret forskydning af grafen for en eksponentiel funktion, fordi det viser sig nyttig i forbindelse med eksponentiel regression. En lodret forskydning af grafen for en eksponentiel funktion viser sig at være nødvendig i nogle situationer, hvor man skal opstille en matematisk model. Den vandrette og den lodrette forskydning præsenteres herunder.

Vandret forskydning

For at bestemme en model for råolieproduktionen laves en eksponentiel regression på tallene i tabellen. Figur 8.5.2 til 8.5.4 viser tallene i et regneark i GeoGebra, regressionsmodellen af typen Vækst og residualplottet.

Residualplottet viser, at data ligger jævnt fordelt om modellen, og at den største absolutte afvigelse ligger på ca. + 70 ved 1925. Da y-værdien for 1925 er på ca. 1000, svarer den absolutte afvigelse til en relativ afvigelse på

70/1000 = 0,07 = 7%

Vi har altså at gøre med en acceptabel model. Men der er et problem med regneforskriften for den eksponentielle model.

f(x) = 0 ∙ 1,0795 x

Ligegyldig hvilken x-værdi vi indsætter, giver resultatet jo nul, da b = 0.

Måske vises der bare ikke nok decimaler i GeoGebra. Men selv hvis der vælges 15 decimaler, er b-værdien stadig nul, som vist på figur 8.5.5. Vi skal ændre GeoGebra til at vise 5 betydende cifre, før b-værdien viser noget andet end nul. I figur 8.5.6 er b = 1,0847E-61, hvilket skal forstås som b = 1,0847 ∙ 10-61.

Figur 8.5.7 og 8.5.8 viser hvordan antallet af decimaler i regressionsmodellen ændres i GeoGebra 5.

Vi har nu fundet den matematiske model, der passer med data

f(x) = 1,0847 ∙ 10-61 ∙ 1,0795 x

Det er bare pokkers upraktisk at arbejde med en b-værdi på 1,0847 ∙ 10-61. Desuden vil vi skulle fortolke b-værdien på følgende måde

"I år 0 blev der produceret 1,085 · 10-61 millioner tønder råolie på verdensplan."

Det giver ingen mening, at modellere 1900-tallets olieproduktion tilbage til Jesus' fødsel. For at undgå at dumpe ned i denne såkaldte "Jesus-fælde" parallelforskyder vi grafen i vandret retning, så x-værdien for det første datapunkt bliver nul. Vi opretter en ny x-værdi der hedder "antal år efter 1910". Det er vist i tabellen i figur 8.5.9.

Sammenlignes de to regressionsmodeller ses følgende:

• I vores nye model er datapunkternes placering i forhold grafen præcis den samme som før.

• De to modellers fremskrivningsfaktor, altså a-værdien, er den samme.

• b-værdien har ændret sig til 317,24, så nu giver det mening at fortolke på den:
  "I år 0 efter 1910, altså i år 1910, blev der produceret 317 millioner tønder råolie på verdensplan."

Modellen reproducerer godt nok ikke det præcise antal producerede tønder af råolie i 1910. Men den absolutte forskel er 328 mio - 317 mio = 11 mio. tønder, så den relative forskel er kun på 11 / 328 = 0,03 = 3%, hvilket er acceptabelt.

Bemærk også at b-værdien i de to regneforskrifter tilsyneladende er ens, mens de to grafer tydeligvis ikke har samme b-værdi, fordi de skærer y-aksen forskellige steder. Men ved nærmere eftersyn opdager man, at b-værdien i g(x) ikke er 0,1, fordi regneforskriften ikke står på den rigtige form.

g(x) ≠ b ∙ a x

Vi har derimod

g(x) = b ∙ a x+5 = b ∙ a x ∙ a 5 = b ∙ a 5 ∙ a x = b1 ∙ a x

b-værdien for g(x) er altså b1 og ikke b. Indsættes a = 2 og b = 0,1 kan vi beregne b1 i regneforskriften for g

g(x) = b ∙ a 5 ∙ a x = 0,1 ∙ 2 5 ∙ 2 x = 3,2 ∙ 2 x

Sammenlignes med grafen ses det, at b-værdien for g på 3,2 passer med skæringen på y-aksen i figur 8.5.11.

Når f forskydes 5 enheder til venstre over i g, ændres b-værdien fra 0,1 til 3,2. Det svarer til, at b-værdien i eksempel 1 ændres fra 1,0847 ∙ 10-61 til 317,24, når der trækkes 1910 fra x-værdierne.

Lodret forskydning

Nogle gange har man brug for at forskyde en eksponentiel funktion lodret. Det gøres på samme måde som ved parablen fra afsnit 7.3.1, hvor vi lagde yT til regneforskriften. Hvis grafen for funktionen f(x) = b ∙ a x  skal forskydes lodret med størrelsen h, får vi den nye funktion

g(x) = f(x) + h = b ∙ a x + h

Eksempel 2 - Afkøling af en varm kop kaffe

Står en kop varm kaffe til afkøling, kan afkølingskurven beskrives med en aftagende eksponentiel sammenhæng mellem tiden og temperaturen. Kaffens temperatur vil nærme sig stuetemperaturen asymptotisk, dvs. nærme sig mere og mere men i teorien aldrig helt.