Matematik B-niveau - 13.8 Vektorer og trigonometri

13.8 Vektorer og trigonometri

Vi har allerede set hvordan vektorer hænger lidt sammen med trekanter. Længden af en vektor kan beregnes med Pythagoras' sætning og arealet af en trekant kan bestemmes vha. determinanten. I dette afsnit ser vi lidt mere på, hvordan vektorer kan benyttes i sammenhæng med trekanter. Først introduceres indskudssætningen.

Sætning 13.8.1 - Indskudssætningen

Hvis A, B og C er tre punkter så gælder der følgende

Bevis for sætning 13.8.1

Hvis de tre punkter har koordinaterne

A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) og C(c1 , c2 )

så kan man opstille de to vektorer

Hvis de to vektorer adderes fås

Hermed er sætning 13.8.1 bevist.

Figur 13.8.1. Indskudssætningen. Vektor AC vil altid være lig med summen af vektor AB og vektor BC. Punktet B er ligesom skudt ind mellem A og C.

Median

En median er en linje fra en trekants hjørne til midtpunktet af siden modsat hjørnet. Man kan vise, at de tre medianer skærer hinanden i samme punkt S, og at dette punkt deler samtlige medianer i forholdet 1:2.

Betragt trekant ABC på figur 13.8.2, hvor hjørnerne har koordinaterne

A(2 , 2), B(9 , 1) og C(4 , 7)

Vi vil bestemme koordinaterne for punktet Mc , som er skæringspunktet mellem medianen fra hjørnet C og siden c.

Vi kan direkte aflæse koordinaterne til Mc , hvis vi kender stedvektoren OMc . Det gør vi ikke, men vi kan indskyde punktet A og bruge indskudssætningen til at opskrive:

Figur 13.8.2. Trekant ABC med de tre medianer.

Stedvektor OA kender vi koordinaterne for, da koordinaterne for punktet A er kendt.

Vi kan beregne koordinaterne for vektor AMc , fordi medianen ligger midt mellem A og B. Derfor vil vektor AMc være halvdelen af vektor AB. Dvs. at vi har

Konklusion

Skæringspunktet Mc mellem medianen og siden c har koordinaterne (5,5 ; 1,5).

Figur 13.8.3. Stedvektoren fra O til Mc har samme koordinater som punktet Mc .

Højde

En højde er en linje fra en trekants hjørne og vinkelret til siden modsat hjørnet. Man kan vise, at de tre højder skærer hinanden i samme punkt.

Hvis en trekant er givet ved punkterne A(1 , 2) , B(8 , 3) og C(5 , 5), kan man f.eks. bestemme koordinaterne af Hc (fodpunktet for højden fra C) vha. projektionsvektoren AHc , hvis man indfører vektor AB og vektor AC, som vist på figur 13.8.4.

Vi kan direkte aflæse koordinaterne til Hc , hvis vi kender stedvektoren OHc . Det gør vi ikke, men vi kan indskyde punktet A og bruge indskudssætningen til at opskrive:

Figur 13.8.4. Trekant ABC med højden fra C til siden c.

Stedvektor OA kender vi koordinaterne for, da koordinaterne for punktet A er kendt.

Vi kan beregne koordinaterne for vektor AHc , som projektionsvektoren ACAB . Dvs. at vi har

Konklusion

Højden fra C er beregnes som længden af vektor HcC.

Figur 13.8.5. Stedvektoren fra O til Hc har samme koordinater som punktet Hc .

Vinkler

Vinklerne i en trekant kan bestemmes vha. skalarproduktet, hvis man kender koordinaterne for trekantens hjørner.

Hvis en trekant er givet ved punkterne A(1 , 2) , B(8 , 3) og C(5 , 5), kan man bestemme vinkel A ved at danne vektor AB og vektor AC.

Herefter anvendes sætning 13.5.4 hvor v = A, som løses med CAS-værktøjet.

Konklusion

Vinkel A er 28,74°.

Figur 13.8.6. Langs de to sider, som udgør vinkel A, placeres to vektorer.

Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne består af tre formler, der hver kobler siderne i en trekant sammen med en af de tre vinkler. Cosinusrelationerne kan bevises ved at anvende vektorer.

Sætning 13.8.2 - Cosinusrelationerne

I trekant ABC med siderne a, b og c gælder følgende formler

1. a2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cos(A)

2. b2 = a2 + c2 - 2 · a · c · cos(B)

3. c2 = a2 + b2 - 2 · a · b · cos(C)

Bevis for sætning 13.8.2

Her bevises den tredje cosinusrelation. Vektor a, vektor b og vektor c placeres langs trekantens sider som vist i figur 13.8.7. Det ses, at vektor c er differensvektoren af vektor a og vektor b. Desuden ses at vinklen v mellem vektor a og vektor b er sammenfaldende med vinkel C.

Det ses også, at trekantens sidelængder er givet ved vektorernes længder. Vi starter med at betragte kvadratet på længden af vektor c og anvender sætning 13.5.7.

Figur 13.8.7. Trekant ABC med vektorer langs siderne.

Idet vektorernes koordinater tildeles på sædvanlig vis opskrives skalarproduktet.

Første kvadratsætning bruges på hver parentes.

Parenteserne hæves, rækkefølgen af leddene justeres og den fælles faktor -2 trækkes udenfor en parentes.

Sætning 13.1.1 om længden af en vektor anvendes til at indføre kvadratet af vektorernes længde. Samtidigt anvendes definitionen på skalarprodukt.

Sætning 13.5.4 om sammenhængen mellem skalarprodukt og vinkel mellem vektorer anvendes.

Vektorlængderne erstattes med trekantens sidelængder og vinklen mellem vektorerne med trekantens vinkel.

Hermed er den tredje del af sætning 13.8.2 bevist.

Sinusrelationerne

Sinusrelationerne består af tre formler, der hver kobler to af siderne i en trekant sammen med de to modstående vinkler. Sinusrelationerne kan bevises ved at anvende vektorer.

Sætning 13.8.3 - Sinusrelationerne

I trekant ABC med siderne a, b og c gælder følgende formler

1. a / sin(A) = b / sin(B)

2. a / sin(A) = c / sin(C)

3. b / sin(B) = c / sin(C)

Bevis for sætning 13.8.3

Først bevises den tredje sinusrelation. Vektor a, vektor b og vektor c placeres langs trekantens sider som vist i figur 13.8.8.

Det ses, at trekantens sidelængder er givet ved vektorernes længder.

Arealet af trekanten opskrives to gange vha. sætning 13.7.6. Første gang hvor vektor a og vektor b anvendes, og anden gang hvor vektor c og vektor a anvendes.

Figur 13.8.8. Trekant ABC med vektorer langs siderne. Vinklen fra vektor c til vektor a, der er vist udenfor trekanten, ses at være lig med vinkel B.

Da arealet af trekanten er uafhængig af, hvilke sider der anvendes, kan de to formler sættes lig med hinanden.

Ved at bruge sætning 13.7.3 kan vi lave følgende omskrivning, hvor vinklen fra vektor a til vektor b er lig med vinkel C, og hvor vinklen fra vektor c til vektor a er lig med vinkel B. Den sidste lighed ses i den øvre del af figur 13.8.8, hvor vektor c til vektor a er tegnet med begyndelsespunkt i B.

Vektorlængderne erstattes med trekantens sidelængder.

Der divideres med sin(B) ∙ sin(C), hvorefter der forkortes.

Hermed er den tredje del af sætning 13.8.3 bevist.

Nu bevises den anden sinusrelation, hvor der sættes lighed mellem følgende to udtryk for arealet

Når sætning 13.7.3 skal anvendes, skal vi bruge vinklen fra vektor c til vektor b. Denne vinkel, som kaldes v, befinder sig udenfor trekanten, som vist på figur 13.8.9.

Da v + A = 180° er v = 180° - A

Denne vinkel anvendes i formlen

Figur 13.8.9. Trekant ABC med vektorer langs siderne. Vinklen fra vektor c til vektor b er vist udenfor trekanten. Det ses at v + A = 180°.

Da sin(180° - A) = sin(A), som figur 13.8.10 viser, fås

Hermed er den anden del af sætning 13.8.3 bevist.

Den første del af sætning 13.8.3 følger umiddelbart af de to andre dele.

Figur 13.8.10. Enhedscirklen viser at sin(180° - A) = sin(A)

Page updated

Report abuse