I dette afsnit betragter vi en situation, hvor der indsættes et pengebeløb på en indlånskonto i et pengeinstitut. Vi vil så analysere, hvordan beløbet udvikler sig, hvis der hverken indsættes flere penge eller hæves penge.
Lad os sige, at vi har arvet 100.000 kr., som vi vil gemme til et senere forbrug. Vi opretter derfor en indlånskonto, som pengeinstituttet helt urealistisk ikke opkræver et administrationsgebyr for. Lad os endvidere sige, at pengeinstituttet hvert år vil tilskrive 2% i rente til kontoen.
For at beregne hvor mange penge der vil stå på vores konto et år efter vi indsatte de 100.000 kr., vil vi benytte formlen fra afsnit 5.1:
S = B · (1 + r)
Når situationen handler om en kapital, plejer man imidlertid at anvende andre symboler for begyndelsesværdien B og slutværdien S. Begyndelsesværdien kaldes for startkapitalen og vi anvender symbolet K0, hvor indekset 0 henviser til tiden nul, altså starttidspunktet. Slutværdien kaldes for slutkapitalen og vi anvender symbolet K1, hvor indekset 1 henviser til at der er gået 1 år. Generelt kaldes den tid, der går mellem hver gang et pengeinstitut tilskriver rente, for terminen. Desuden vil vi også kalde vækstraten r for rentefoden. Vi udskifter symbolerne i formlen og indsætter vores værdier
K1 = K0 · (1 + r) = 100.000 kr. · (1 + 0,02) = 100.000 kr. · 1,02 = 102.000 kr.
Efter et år er vores 100.000 kr. altså vokset til 102.000 kr.
Lader vi pengebeløbet stå urørt i endnu et år, vil pengeinstituttet tilskrive 2% af de 102.000 kr. For at beregne hvor mange penge der herefter står på kontoen, bruger vi formlen igen. Vores startværdi er nu K1 , mens vores slutværdi er K2 :
K2 = K1 · (1 + r) = 102.000 kr. · (1 + 0,02) = 102.000 kr. · 1,02 = 104.040 kr.
Det er også muligt at beregne K2 direkte vha. K0 uden først at beregne K1. For hvis formlen for K1 indsættes i formlen for K2 fås:
K2 = K1 · (1 + r) = K0 · (1 + r) · (1 + r) = K0 · (1 + r)2
K2 = 100.000 kr. · (1 + 0,02)2 = 100.000 kr. · 1,022 = 104.040 kr.
Den sidste måde at beregne K2 kan generaliseres, så vi bliver i stand til at beregne beløbet efter et vilkårligt antal rentetilskrivninger alene ud fra K0 og r - forudsat at:
der ikke bliver indsat andre penge på kontoen
der ikke hæves penge fra kontoen
rentefoden er konstant
For hver ekstra termin vi lader pengene stå, skal kapitalen ganges med fremskrivningsfaktoren. Men da hver fremskrivningsfaktor er den samme, kan vi blot lade eksponenten vokse med 1. Dvs. efter 3 terminer bruges formlen:
K3 = K0 · (1 + r)3
Og efter 4 terminer bruges formlen:
K4 = K0 · (1 + r)4
Osv.
Formlen til at beregne kapitalen efter n terminer bliver derfor:
Kn = K0 · (1 + r)n
Formlen kan vi f.eks. bruge til at beregne, hvor mange penge der står på kontoen, 10 år efter de 100.000 kr. blev indsat:
K10 = 100.000 kr. · (1 + 0,02)10 = 100.000 kr. · 1,0210 = 121.899,44 kr.
Hvis en startkapital K0 står urørt på en konto med en vækstrate på r i n terminer, vil kapitalen efter n terminer Kn kunne beregnes med kapitalfremskrivningsformlen
Kn = K0 · (1 + r)n