Embedded Files
Grafen for en lineær funktion vil danne en vinkel med x-aksen. Vinklen, som afhænger af hældningskoefficienten, kaldes for hældningsvinklen, v. Hældningsvinklen går fra x-aksen til den rette linje, og regnes derfor med fortegn.
En ret linje med en positiv hældningskoefficient har en hældningsvinkel i intervallet
0° < v < 90°
En ret linje med en negativ hældningskoefficient har en hældningsvinkel i intervallet
-90° < v < 0°
Vandrette linjer har en hældningsvinkel v = 0°.
Vi betragter ikke tilfældet hvor v = ± 90°, da en lineær funktion ikke kan have en lodret graf.
Figur 16.4.1. Hældningsvinklen regnes med fortegn fra x-aksen.
Sætning 16.4.1.
Sætning 16.4.1.
For en ret linje givet ved ligningen y = ax + b gælder følgende sammenhæng mellem hældningskoefficienten, a, og hældningsvinklen v
a = tan (v)
Bevis for sætning 16.4.1
Bevis for sætning 16.4.1
Hældningsvinklen er uafhængig af en linjens skæring med y-aksen. Selv om b-værdien for en linje ændres, vil hældningsvinklen forblive den samme. Derfor betragter vi tilfældet hvor b = 0, dvs. at den rette linje går gennem (0,0). Herved kan vi danne en retningsvektor for linjen med udgangspunkt i (0,0). Da vi skal have fat i linjens hældningskoefficient, vil vi lade retningsvektorens førstekoordinat være lig med 1, hvorved dens andenkoordinat bliver lig med a.
Hvis vi tegner enhedscirklen og lader retningspunktet ligge i det skæringspunkt mellem linjen og cirklen, der har en positiv x-værdi, får vi en enhedsvektor, som er parallel med linjens retningsvektor.
Samtidig vil enhedsvektorens retningsvinkel være lig med linjens hældningsvinkel. Derfor kan vi indføre enhedsvektorens koordinater som funktion af linjens hældningsvinkel.
De to udtryk for retningsvektoren sættes lig med hinanden.
Konstanten isoleres ud fra førstekoordinat-ligningen.
Herefter indsættes udtrykket for k i andenkoordinat-ligningen.
Da tangens til en vinkel er defineret som sinus til vinklen divideret med cosinus til vinklen er sætning 16.4.1 bevist.
Eksempel 16.4.2
Eksempel 16.4.2
Hvis en ret linje har en hældningsvinkel på v = 25°, beregnes linjens hældningskoefficient vha. tangens
a = tan(v) = tan(25°) = 0,466
Hvis en ret linje har en hældningsvinkel på v = -72°, beregnes linjens hældningskoefficient vha. tangens
a = tan(v) = tan(-72°) = -3,08
Eksempel 16.4.3
Eksempel 16.4.3
Hvis en ret linje har en hældningskoefficient på a = 2,4, beregnes linjens hældningsvinkel vha. den inverse tangens
v = tan-1 (a) = tan-1 (2,4) = 67,4°
Page updated
Report abuse