Embedded Files
Andengradspolynomiets forskrift
Andengradspolynomiets forskrift
Regneforskriften for andengradspolynomiet skrives oftest på følgende måde:
p(x) = a∙x2 + b∙x + c
hvor a, b og c er reelle tal og hvor a ≠ 0.
Regneforskriften består af tre led, hvor a∙x2 kaldes andengradsleddet, b∙x førstegradsleddet og c konstantleddet.
Tallene a, b og c kaldes for polynomiets koefficienter.
Andengradspolynomiets graf
Andengradspolynomiets graf
Figur 7.3.1 viser grafen for et andengradspolynomium. Grafen kalder man for en parabel. Parablen er karakteriseret ved, at den er symmetrisk omkring et toppunkt. Parablen vil altid skære y-aksen ét sted og kan skære x-aksen nul, et eller to steder.
De punkter i koordinatsystemet, hvor parablen skærer x-aksen, kaldes for andengradspolynomiets nulpunkter. Nulpunkternes førstekoordinat kaldes for andengradspolynomiets rødder. Dvs. at et andengradspolynomium kan have nul rødder, en rod eller to rødder.
Figur 7.3.1. En parabel med nulpunker, toppunkt og symmetrilinje.
Koefficienternes betydning for parablen
Koefficienternes betydning for parablen
Andengradskoefficienten a har betydning for grenenes retning og for bredden af parablen. Figur 7.3.2 viser hvordan.
Er a > 0 peger grenene opad. Er a < 0 peger grenene nedad. En stor a-værdi giver en smal parabel, mens en lille a-værdi giver en bred parabel. Et argument for denne påstand følger i afsnit 7.5.
Figur 7.3.2. a-værdiens betydning for parablens udseende.
Nultegradskoefficienten c angiver y-værdien i punktet hvor x = 0, dvs. hvor parablen skærer y-aksen. Det kan vi argumentere for ved at indsætte x = 0 i parablens regneforskrift.
p(0) = a∙02 + b∙0 + c = c
Førstegradskoefficienten b angiver hældningen af den tangent til parablen, som tangerer parablen i punktet hvor x = 0. Et argument for denne påstand følger i afsnit 17.4.
Figur 7.3.3 viser betydningen af b og c.
Figur 7.3.3. b- og c-værdiernes betydning for parablens udseende.
En tangent er en ret linje. Fra kapitel 3 ved vi derfor, at ligningen for tangenten skal være på formen y = α∙x + β, hvor er α tangentens hældningskoefficient og β er tangentens skæring med y-aksen.
Da b angiver tangentens hældningskoefficient ved vi at α = b.
Da tangenten går igennem samme punkt på y-aksen som parablen ved vi at β = c.
Ligningen for tangenten til parablen i det punkt, hvor parablen skærer y-aksen er derfor:
y = b∙x + c
Diskriminanten
Diskriminanten
Når man arbejder med andengradspolynomier, støder man et par gange på et bestemt udtryk, som er dannet af andengradspolynomiets koefficienter. Det drejer sig om udtrykket b2 - 4∙a∙c . Dette udtryk kalder man for diskriminanten og anvender et d som symbol for det
d = b2 - 4∙a∙c
Vi vender tilbage til diskriminanten i efterfølgende afsnit.
Page updated
Report abuse