18: Differentialregning

Differentialregning er den matematiske teori, hvor de afledte funktioner hører til. Fra afsnit 14.2 har vi, at en afledt funktion er en funktion, der angiver en forskrift til beregning af tangenters hældningskoefficient. Når man afleder funktioner kalder man det også at differentiere funktioner.

Resultatet af en differentiation kaldes en differentialkvotient. Symbolet f'(x), som vi tidligere har omtalt som f mærke af x, kaldes derfor også differentialkvotienten for f.

Det er ikke alle funktioner, der kan differentieres. Løst sagt kan man sige, at en funktion kan differentieres, hvis den er glat og sammenhængende.

• Ordet "glat" henviser til, at grafen for funktionen ikke har nogle knæk, og at den derfor kan tegnes med bløde kurver.

• Ordet "sammenhængende" henviser til, at grafen for funktionen kan tegnes i hånden uden at løfte blyanten fra papiret. Grafen har altså ingen "huller". Sammenhængende funktioner kalder man for kontinuerte funktioner.

Figur 18.1 viser eksempler på tre funktioner f, g og h, der ikke er differentiable. Grafen for g er ikke glat, mens grafen for f og h ikke er sammenhængende.

Definition 18.1 giver en præcis definition af en differentiabel funktion.

Før vi kan forstå betydningen af definition 18.1, skal man have en dybere forståelse af begreberne grænseværdi og kontinuitet. Disse beskrives hhv. i afsnit 18.1 og 18.2. 

I afsnit 18.3 vises et eksempel på, hvordan man bestemmer hældningen af en tangent vha. begrebet græseværdi samt en linje, som kaldes for en sekant.

I afsnit 18.4 vil vi anvende definition 18.1 og den såkaldte "3-trins-regel" til at bestemme differentialkvotienter for funktioner.

I afsnit 18.5 vil vi anvende "3-trins-reglen" til at bestemme regneregler for differentialkvotienter.

I afsnit 18.6 vender vi tilbage til funktionerne fra figur 18.1 for, at uddybe hvorfor de ikke er differentiable.