Embedded Files
De værdier man beregner med kombinationsformlen, kaldes for binomialkoefficienter. Forklaringen på dette navn kommer senere. Hvis man skal beregne binomialkoefficienter uden brug af computer, skal man håndtere tre fakultetstal. Heldigvis kan man finde en "tabel" over binomialkoefficienterne. Tabellen kaldes Pascals trekant. Den er opkaldt efter en fransk matematiker og fysiker fra 1600-tallet, Blaise Pascal. Et udsnit af Pascals trekant er vist i figur 9.6.1.
Figur 9.6.1. De ti første rækker af Pascals trekant. Trekanten fortsætter nedad i det uendelige.
Pascals trekant starter med øverste række, hvori der står et 1-tal.
I anden række står der to 1-taller, som er forskudt til hver side i forhold til 1-tallet i første række.
I de efterfølgende rækker forskydes tallene til siden i forhold til række ovenfor. Desuden starter og slutter de efterfølgende rækker med et 1-tal, og de indeholder lige så mange tal, som rækkens nummer.
Tallene i det indre af trekanten bestemmes ved at lægge de to tal, som er forskudt til hver side i rækken ovenfor, sammen. En animation af dette for række 3, 4 og 5 ses i figur 9.6.2
Figur 9.6.2. Opbygningen af det indre af Pascals trekant.
Det viser sig, at tallene i Pascals trekant netop er lig med binomialkoefficienterne efter følgende system:
I første række er 1-tallet lig med antallet af kombinationer, hvorpå man kan vælge 0 elementer ud af en mængde på 0 elementer.
I anden række er det første 1-tal lig med antallet af kombinationer, hvorpå man kan vælge 0 elementer ud af en mængde på 1 element. Det sidste 1-tal er lig med antallet af kombinationer, hvorpå man kan vælge 1 element ud af en mængde på 1 element.
I tredje række er det første 1-tal lig med antallet af kombinationer, hvorpå man kan vælge 0 elementer ud af en mængde på 2 elementer. Det sidste 1-tal er lig med antallet af kombinationer, hvorpå man kan vælge 2 elementer ud af en mængde på 2 elementer. 2-tallet i midten er lig med antallet af kombinationer, hvorpå man kan vælge 1 element ud af en mængde på 2 elementer.
Sådan kan man fortsætte række for række ned igennem trekanten.
I figur 9.6.3 ses de 10 første rækker i Pascals trekant opskrevet med symbolerne for binomialkoefficienterne. Bemærk systematikken:
For hver række vi bevæger os ned i trekanten, stiger antallet af elementer man kan vælge mellem med 1. Det svarer til n i symbolet K(n,r).
I hver række stiger antallet af elementer man skal udvælge med 1, for hvert tal vi bevæger os til højre i trekanten. Det svarer til r i symbolet K(n,r).
Formel 193 i formelsamlingen
Formel 193 i formelsamlingen
Figur 9.6.3. De ti første rækker af Pascals trekant opskrevet vha. binomialkoefficienter.
Man kan genfinde mange andre talmønstre og talsystemer i Pascals trekant, men dem skal vi ikke komme ind på her.
Page updated
Report abuse