Matematik B-niveau

5.1 Procentregning

Procent

Ordet procent kommer af pro centum, som direkte oversat betyder for hver hundrede. I dag opfattes betydningen af ordet procent som hundrededel. Som forkortelse for procent bruger man pct. eller tegnet %.

Vi fortolker symbolet 5% som 5 hundrede dele, altså det at noget først bliver delt i 100 lige store dele, og at man derefter betragter 5 af disse hundrede dele som en enhed. Beregningen ses på figur 5.1.1.

Figur 5.1.1. Omregning af 5% til decimaltal.

Ud fra figur 5.1.1 ses, at man let kan omskrive fra procent til decimaltal ved at dividere med 100. Omvendt kan man så også let omskrive et decimaltal til procent ved at gange med 100. F.eks. er 0,74 = 74% eller 2,45 = 245%.

Procent af noget

Skal man beregne 5% af 800, skal man først opdele de 800 i hundrede lige store dele, dvs. 800/100 = 8.
Derefter skal man beregne den samlede værdi af 5 af disse dele hver med en værdi på 8, dvs. 8 ∙ 5 = 40.

Figur 5.1.2 viser formlen til at beregne p% af et tal x.

Figur 5.1.2.

Figur 5.1.3 viser hvordan højre side i formlen kan omskrives vha. brøkregneregel 4.

Figur 5.1.3.

Man kan altså også beregne p% af et tal x som vist i figur 5.1.4.

Figur 5.1.4.

To typer af procentopgaver

Når man regner med procent, er der to typer af opgaver. Disse typer beskrives herunder.

Første type procentopgave

Den ene type opgaver handler om at bestemme, hvor mange procent et tal udgør af et andet tal. Det kan også formuleres som, hvor mange procent et tal udgør i forhold til et andet tal. Når ordet ”forhold” inddrages, skal man tænke på brøker, som jo netop angiver forhold mellem tal. Man skal altså beregne værdien af en brøk og omskrive til procent.

Eksempel 5.1.1

Spørgsmålet ”Hvor mange procent udgør 7 af 100?” betyder bare ”Bestem 7 i forhold til 100”. Opgaven løses ved at beregne:

7/100 = 0,07 = 7%

Eksempel 5.1.2

Spørgsmålet "Hvor mange procent udgør 4 af 48?" besvarer vi ved at opskrive forholdet og beregne med computer:

4/48 = 1/12 = 0,083 = 8,3%

Anden type procentopgave

Den anden type opgaver handler om at lægge en procentdel til. En begyndelsesværdi B vokser med en procentdel p til en slutværdi S. Opgaven kan her være at bestemme slutværdien, begyndelsesværdien eller procentdelen. Sammenhængen mellem de tre størrelser (B, p og S) fremgår af følgende overvejelser:

Hvis vi skal bestemme p% af B, skal vi ifølge figur 5.1.4 beregne:

B · p/100

For at beregne hvad vores begyndelsesværdi er vokset til, altså slutværdien, lægger vi vores beregnede procentdel til begyndelsesværdien:

S = B + B · p/100

Hvis man erstatter B med B ∙ 1, er det tydeligt at se, at vi har to led med en fælles faktor, B:

S = B · 1 + B · p/100

Den fælles faktor sættes udenfor en parentes.

S = B · (1 + p/100)

Herefter erstattes brøken p/100 med r. Symbolet r kaldes for vækstraten og angiver procentdelen som et decimaltal.

S = B · (1 + r) , hvor r = p/100

I formlen kaldes parentesen (1 + r) fremskrivningsfaktoren.

Den fremkomne formel har nummer (1) i formelsamlingen.

Eksempel 5.1.3

Har man en begyndelsesværdi på B = 35, som vokser med p = 25%, kan man beregne at slutværdien er 43,75 ved at indsætte i formlen som vist her:

S = 35 · (1 + 0,25)

S = 35 · 1,25

S = 43,75

Eksempel 5.1.4

For at beregne hvor mange procent en begyndelsesværdi på 170 er vokset med, hvis slutværdien er 256, indsættes der i formlen som vist her:

256 = 170 · (1 + r)

Ved at løse ligningen med CAS-værktøj fås at r = 0,506. Den beregnede vækstrate omregnes til et procenttal

p = r ∙ 100% = 0,506 ∙ 100%

p = 50,6%.

Eksempel 5.1.5

Hvis en slutværdi er 65 og væksten har været på 21%, kan man beregne begyndelsesværdien ved at indsætte i formlen som vist her:

65 = B · (1 + 0,21)

Ved at løse ligningen med CAS-værktøj fås at B = 53,719. Begyndelsesværdien er derfor 53,7.

Formler for B og r

I eksempel 5.1.4 og 5.1.5 har vi anvendt CAS-værktøjet til at bestemme hhv. r og B. Man kan dog let omskrive formlen S = B · (1 + r), så der fremkommer en formel til beregning af hhv. B og r.

Bestemmelse af B

Hvis vi vil isolere B i formlen, skal vi bare dividere med parentesen.

S = B · (1 + r)

S / (1 + r) = B · (1 + r) / (1 + r)

S / (1 + r) = B

B = S / (1 + r)

Bestemmelse af r

Hvis vi vil isolere r i formlen, skal vi først dividere med B.

S = B · (1 + r)

S / B = B · (1 + r) / B

S / B = (1 + r)

Plusparentesen hæves uden videre og 1-tallet trækkes fra.

S / B - 1 = 1 + r - 1

S / B - 1 = r

r = S / B - 1

Sætning 5.1.1

Sammen mellem en begyndelsesværdi B som vokser med p%, til slutværdien S, kan skrives med følgende formler hvor r = p/100.

Den første og den sidste formel kan findes i formelsamlingen som formel (1) og (2).

Trække en procentdel fra

Formlerne i sætning 5.1.1 kan også bruges, hvis man skal trække en procentdel fra, dvs. hvis en begyndelsesværdi falder med en procentdel p til en slutværdi. I sådanne situationer indsætter man bare vækstraten som et negativt tal, som følgende eksempler viser:

Eksempel 5.1.6

Har man en begyndelsesværdi på B = 85, som falder med p = 30%, kan man beregne slutværdien ved at indsætte i formlen som vist her:

S = B · (1 + r)

S = 85 · (1 - 0,30)

S = 85 · 0,70

S = 59,50

Eksempel 5.1.7

Hvis en slutværdi er 120 og væksten har været på -14%, kan man beregne begyndelsesværdien ved at indsætte i formlen som vist her:

B = S / (1 + r)

B = 120 / (1 - 0,14)

B = 120 / 0,86

B = 139,53

Eksempel 5.1.8

Hvis en begyndelsesværdi på B = 100 falder til en slutværdi på S = 80, kan man beregne vækstraten ved at indsætte i formlen som vist her:

r = S/B - 1

r = 80/100 - 1

r = 0,80 - 1

r = -0,20

Den procentvise ændring har dermed været:

p = r ∙ 100% = -0,20 ∙ 100%

p = -20%

hvilket fortolkes som et fald på 20%.

Page updated

Report abuse