For at betragte parablens toppunkt tager vi udgangspunkt i det mest simple andengradspolynomium, hvor a > 0, b = 0 og c = 0

p(x) = a∙x²

Vi har nu to måder, hvorpå vi kan opskrive regneforskriften for et andengradspolynomium. Dette vil vi nu anvende til at udlede en formel, som kan beregne toppunktets koordinater ud fra værdierne af a, b og c.

Ved den første forskrift kan man ud fra a-værdien aflæse hvordan parablen vender og noget om hvor smal parablen er. Ud fra c-værdien kan man aflæse hvor parablen skærer y-aksen og ud fra b-værdien kan man aflæse hældningen af parablens tangent i skæringspunktet med y-aksen:

p(x) = a∙x² + b∙x + c

Ved den anden forskrift kan man igen ud fra a-værdien aflæse hvordan parablen vender og noget om hvor smal parablen er. Desuden kan man ud fra x_T- og y_T-værdien aflæse parablens toppunkt:

f(x) = a∙(x - x_T)² + y_T

Da der er tale om den samme parabel, er de to regneforskrifter lig med hinanden

p(x) = f(x)

a∙x² + b∙x + c = a∙(x - x_T)² + y_T

Vi vil nu gerne omskrive udtrykket på højre side af lighedstegnet, så parentesen forsvinder. Da parentesen står som "kvadratet på en to-ledet størrelse" med et minus mellem de to led, kan vi anvende den anden kvadratsætning til omskrivningen. Kvadratsætningerne er omtalt i afsnit 4.3.

Vha. af kvadratsætningen får vi udtrykket:

a∙x² + b∙x + c = a∙(x² + x_T² - 2∙x∙x_T) + y_T

Ved at gange a ind i parentesen fås:

a∙x² + b∙x + c = a∙x² + a∙x_T² - 2∙a∙x∙x_T + y_T

For at gøre sidste del af analysen lettere at overskue flyttes der om på de to led (a∙x_T²) og (-2∙a∙x∙x_T ), og rækkefølgen af de to faktorer x og x_T byttes rundt i leddet (-2∙a∙x∙x_T ):

a∙x² + b∙x + c = a∙x² - 2∙a∙x_T∙x + a∙x_T² + y_T

Da udtrykket på hver side af lighedstegnet beskriver den samme parabel, må vi kræve, at de to andengradsled skal være ens, at de to førstegradsled skal være ens, og at de to nultegradsled skal være ens.

a∙x² + b∙x + c = a∙x² - 2∙a∙x_T∙x + a∙x_T² + y_T

De to andengradsled er ens, så dette krav er opfyldt:

a∙x² = a∙x²

For at de to førstegradsled

b∙x = -2∙a∙x_T∙x

kan blive ens, må vi kræve at

b = -2∙a∙x_T

Ved at dividere hver side med (-2∙a) kan vi opskrive et udtryk til beregning af x_T , hvis vi kender a og b

x_T = b / (-2∙a)

x_T = - b / 2a

For at de to nultegradsled kan blive ens, må vi kræve at

c = a∙x_T² + y_T

Ved at trække (a∙x_T²) fra på hver side kan vi opskrive et udtryk til beregning af y_T , hvis vi kender a, c og x_T

y_T = c - a∙x_T²

Vi kan omskrive yderligere ved at indsætte udtrykket x_T = - b / 2a

y_T = c - a∙x_T² = c - a∙(-b / 2a)²

Ved at bruge potensregneregel 4 fås

y_T = c - a∙( (-b)² / (2a)² ) = c - a∙( b² / ( 2²∙a² ) ) = c - a∙( b² / 4∙a² )

Ved at bruge brøkregnereglen for at gange et tal med en brøk fås

y_T = c - a∙b² / (4∙a² )

Hvilket forkortes til

y_T = c - b² / (4∙a)

Ved at forlænge c med 4∙a fås

y_T = 4∙a∙c / (4∙a) - b² / (4∙a)

Ved at bruge brøkregnereglen for at trække brøker med fællesnævner fra hinanden fås

y_T = (4∙a∙c - b² ) / (4∙a)

Ved at forlænge med -1 fås

y_T = -1∙(4∙a∙c - b² ) / -(4∙a)

Ved at gange -1 ind i parentesen fås

y_T = (-4∙a∙c + b² ) / -(4∙a)

Der byttes nu rundt på rækkefølgen af de to led -4∙a∙c og b²

y_T = (b² - 4∙a∙c) / -(4∙a)

Vi ser nu, at vi har fået indført diskriminanten fra afsnit 7.3 d = b² - 4∙a∙c. Ved at indsætte udtrykket for d fås

y_T = d / -(4∙a)

y_T = - d / 4a