Vi vil undersøge forløbet af eksponentielle funktioner vha. afledte funktioner.
Ifølge afsnit 8.1 er en eksponentiel funktion givet ved regneforskriften
f(x) = b ∙ ax , a > 0, b > 0, x ϵ R
Den afledte funktion er
f '(x) = (b ∙ ax)' = b ∙ (ax)' = b ∙ ln(a) ∙ ax
Vi undersøger om den eksponentielle funktion har en vandret tangent ved at løse ligningen
f '(x) = 0
b ∙ ln(a) ∙ ax = 0
Ligningen bliver sand i følgende tilfælde
b = 0
ln(a) = 0
ax = 0
Tilfælde 1
Da der pr. definition gælder at b > 0, kan tilfælde 1 ikke være opfyldt.
Tilfælde 2
Ligningen løses vha. eulers tal
ln(a) = 0
eln(a) = e0
a = 1
Dvs. at tilfælde 2 er opfyldt hvis a = 1.
Tilfælde 3
Da der pr. definition gælder at a > 0, kan tilfælde 3 ikke være opfyldt, da dette tilfælde kun er opfyldt hvis a = 0.
Af de tre tilfælde kan vi konkludere, at der er mulighed for en vandret tangent og dermed ekstremum når a = 1.
Når a = 1 bliver forskriften for den eksponentielle funktion til
f(x) = b ∙ 1x = b
I dette tilfælde er f en konstant funktion, som ikke har ekstrema.
Vi undersøger nu monotoniforholdene for funktionen i de tilfælde hvor a er hhv. er større end 1 og mellem 0 og 1
a > 1
For at bestemme fortegnet for den afledte funktion f '(x) = b ∙ ln(a) ∙ ax betragter vi hver faktor for sig
Pr definition af den eksponentielle funktion er b > 0
Da a > 1 er ln(a) > 0
Pr definition af potenser er ax > 0
Fortegnet for den afledte funktion fås ved at gange tre positive tal sammen. Derfor er f '(x) > 0.
Konklusion
Når a > 1 er den eksponentielle funktion voksende i intervallet ] -∞ ; ∞ [ .
0 < a < 1
Vi betragter igen hver faktor for sig
Pr definition af den eksponentielle funktion er b > 0
Da 0 < a < 1 er ln(a) < 0
Pr definition af potenser er ax > 0
Fortegnet for den afledte funktion fås ved at gange to positive tal og et negativt tal sammen. Derfor er f '(x) < 0.
Konklusion
Når 0 < a < 1 er den eksponentielle funktion aftagende i intervallet ] -∞ ; ∞ [ .