Embedded Files
Definition 4.6.1: Kvadratrod
Definition 4.6.1: Kvadratrod
Kvadratroden af et ikke-negative tal a er det ikke-negative tal b, der kvadreret giver a.
Denne definition kan man beskrive med symboler som vist i figur 4.6.1.
Figur 4.6.1. Kvadratroden af et tal hvor a ≥ 0 og b ≥ 0.
Af definition 4.6.1 kan man se, at det at opløfte et tal i anden (kvadratet af tallet) er det omvendte af at tage kvadratroden af tallet. Det betyder, at hvis udgangspunktet er a = 25, så beregner man at b = √(25) = 5. Hvis man herefter opløfter b = 5 i anden, b2 = 52 = 25, så kommer man tilbage til udgangspunktet.
Omvendt kan man også sige, at kvadratroden af et tal er det omvendte af kvadratet af tallet. Hvis udgangspunktet er b = 3, så beregner man a = b2 = 32 = 9. Hvis man herefter beregner kvadratroden af a = 9, b = √(9) = 3, så kommer man tilbage til udgangspunktet.
Man bør bemærke, at kvadratroden kun er det omvendte af kvadratet, hvis udgangspunktet er et positivt tal. Hvis f.eks. b = -2, så er a = b2 = (-2)2 = 4. Men så vil a = √(4) = 2, hvilket ikke er udgangspunktet.
Man siger, at kvadratrodsfunktionen og kvadratfunktionen er hinandens omvendte funktioner. Dvs. at der for en vilkårlig x-værdi, som er større end eller lig med nul, gælder:
Definition 4.6.2: Kubikrod
Definition 4.6.2: Kubikrod
Kubikroden af tallet a er det tal b, der opløftet i tredje giver a. Bemærk at a og b godt må være negative her.
Denne definition kan man beskrive med symboler som vist i figur 4.6.2.
Figur 4.6.2. Kubikroden af et tal.
Af definition 4.6.2 kan man se, at det at opløfte et tal i tredje er det omvendte af at tage kubikroden af tallet.
Hvis f.eks. udgangspunktet er a = 27, så er b = ³√a = ³√(27) = 3, hvilket videre giver at a = b³ = 3³ = 27, som bringer os tilbage til udgangspunktet.
Tilsvarende er det, at tage kubikroden af et tal det omvendte af at opløfte tallet i tredje.
Hvis f.eks. udgangspunktet er b = -2, så er a = b³ = (-2)³ = -8, hvilket videre giver at b = ³√a = ³√(-8) = -2, som bringer os tilbage til udgangspunktet. Bemærk at der her ikke er et krav om, at udgangspunktet skal være et positivt tal.
Eksempel 4.6.1 - Kvadratrødder
Eksempel 4.6.2 - Kubikrødder
Potens med eksponent, som ikke er et helt tal
Potens med eksponent, som ikke er et helt tal
Vi har nu redskaberne til at forstå, hvordan man fortolker en potens, hvor eksponenten ikke er et helt tal. Som eksempel betragter vi 100,5, som vi vælger at opløfte i anden (100,5)2.
Ved at anvende potensregneregel 5 kan man lave følgende beregning:
Vi kan altså se at (100,5)2 = 10. Hvis vi tager kvadratroden på hver side af lighedstegnet i dette udtryk får vi:
Da kvadratroden og kvadratet er hinandens omvendte funktioner, kan venstre side af lighedstegnet omskrives til:
Hvis en potens har en eksponent som er lig med 0,5, svarer det altså til kvadratroden af grundtallet. Hvis man skriver 0,5 som en brøk samt det underforståede 2-tal ved kvadratrodstegnet, ser udtrykket ud som:
Man kan lave en tilsvarende analyse med potensregneregel 5 og vise at (101/3)3 = 10. Dermed har vi at
Man kan generalisere ovenstående analyser og dermed få at
Vi ved nu, hvordan vi skal fortolke en potens med en eksponent, som kan skrives som en positiv stambrøk. Kobles denne viden sammen med vores viden om potenser med en negativ eksponent, kan vi konkludere, hvordan vi skal fortolke en potens med en negativ stambrøk som eksponent.
Konklusion
Der kan drages to konklusioner af ovenstående analyse:
Potenser med eksponenter, som ikke er hele tal, både positive og negative, kan fortolkes vha. rødder.
Rødder kan fortolkes som potenser. Derfor kan potensregneregel 3 og 4 bruges til at argumentere for kvadratrodsregnereglerne:
Page updated
Report abuse