Embedded Files
Bevis for sætning 16.2.1
Bevis for sætning 16.2.1
Med udgangspunkt i parameterfremstillingen for en linje kan man komme frem til en ligning for linjen, hvori en normalvektor for linjen indgår. En normalvektor for linjen er en vektor, som står vinkelret på linjen. Vi starter med parameterfremstillingen, hvor stedvektoren til det kendte punkt trækkes fra på hver side af lighedstegnet.
Nu prikkers der med en normalvektor på hver side af lighedstegnet.
På venstre side af lighedstegnet indføres normalvektorens koordinater n1 og n2, mens højre side af lighedstegnet omskrives vha. den associative lov (figur 13.5.20e).
Skalarproduktet på venstre side af lighedstegnet beregnes vha. koordinaterne, mens højre side af lighedstegnet giver nul, fordi linjens retningsvektor og normalvektor er ortogonale.
Vi har nu bevist sætning 16.2.1, som den står i formelsamlingen. Vi kan omskrive videre ved at gange normalvektorens koordinater ind i parenteserne.
Vi har nu fire led, hvor to af dem indeholder ligningens to variabel x og y. De andre to led indeholder de kendte størrelser x0 , y0 , n1 og n2 . Vi samler disse to sidste led til sidst i udtrykket.
Da de to sidste led udelukkende består at kendte størrelser, kan vi i princippet beregne dem, hvorved vi får en konstant. Hvis vi kalder konstanten c, så er
hvorved ligningen kan skrives som
Når vi skriver linjens ligning på denne måde, er det fordi, vi får brug for den i afsnit 16.6.
Sætning 16.2.1 - Linjens ligning
Sætning 16.2.1 - Linjens ligning
Ligningen for linjen, der går gennem punktet P0(x0 , y0) og har normalvektor n, er givet ved
Bemærk at normalvektorens koordinater i formelsamlingen bliver angivet med a og b. Man skal være opmærksom på ikke at blande disse symboler sammen med linjens hældningskoefficient og skæring med y-aksen.
Som figur 16.2.1 viser, kan en normalvektor let bestemmes som en tværvektor til retningsvektoren.
Figur 16.2.1. Ligningen for linjen l laves vha. et kendt punkt P0 og normalvektor n.
Eksempel 16.2.1
Eksempel 16.2.1
Ligningen for den rette linje l , der går gennem punktet (2, -5), og hvis normalvektor har koordinaterne (-3, 1), findes ved at indsætte i formlen
Ved at gange ind i parenteserne fås
Hvis man ønsker kan y isoleres til
Eksempel 16.2.2
Eksempel 16.2.2
Linjen l har følgende parameterfremstilling
For at opskrive ligningen for l aflæses først punktets koordinater til P0(-3 , 1). Normalvektoren bestemmes ved at finde tværvektoren til retningsvektoren
Ligningen l bestemmes ved at indsætte i formlen og reducere
Page updated
Report abuse