Embedded Files
To rette ikke-parallelle linjer vil altid have et skæringspunkt, S. De følgende fire eksempler viser hvordan man bestemmer dette skæringspunkt.
Eksempel 16.3.1
Eksempel 16.3.1
De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne
l : y = 5x - 2
m : y = -3x + 10
I skæringspunktet S vil de linjer have samme y-værdi. Derfor kan de to højresider i ligningerne sættes lig med hinanden for at bestemme skæringspunktets x-værdi.
5x - 2 = -3x + 10
5x + 3x = 10 + 2
8x = 12
x = 12 / 8
x = 1,5
Skæringspunktets y-værdi kan nu beregnes med ligningen for hver linje. Vi starter med l
y = 5 ∙ 1,5 - 2 = 7,5 - 2 = 5,5
Nu med ligningen for m
y = -3 ∙ 1,5 + 10 = -4,5 + 10 = 5,5
Vi finder skæringspunktet S = (1,5 ; 5,5). Bemærk at det er ikke nødvendigt at beregne y-værdien med begge ligninger.
Eksempel 16.3.2
Eksempel 16.3.2
De to rette linjer l og m er givet ved parameterfremstillingerne
Bemærk at parameteren i parameterfremstillingen for m er omdøbt til s. Der er gjort fordi, det antal gange vi skal bevæge os retningsvektorens længde langs hver linje fra startpunktet på linjen og hen til de to linjers skæringspunkt, jo ikke nødvendigvis er det samme for hver linje. Derfor skal vi kunne bruge to forskellige værdier for parametrene, hvilket indikeres med de to forskellige bogstaver t og s.
Skæringspunktet for de to linjer er der, hvor stedvektoren ud til hver linje er den samme. Derfor dannes nu to koordinatligninger. En ligning for stedvektoren førstekoordinat
4 + t ∙ (-2) = 0 + s ∙ 4
og en ligning for stedvektorens andenkoordinat
6 + t ∙ 1 = 1 + s ∙ 5
Figur 16.3.1. Bemærk at parameterfremstillingerne i GeoGebra begge indeholder et t som parameter. I skæringspunktet S er stedvektoren for de to linjer ens.
Dette giver os to ligninger med to ubekendte t og s. Vi repeterer hvordan disse kan løses i hånden. Ligningerne reduceres først
4 - 2t = 4s (I)
6 + t = 1 + 5s (II)
Vi lægger mærke til, at t i ligning (II) er let at isolere. Herved fås følgende to ligninger
4 - 2t = 4s Ʌ t = -5 + 5s
Værdien af t indsættes nu i ligning (I), som herefter løses for s
4 - 2 ∙ (-5 + 5s) = 4s
4 - 2 ∙ (-5) - 2 ∙ 5s = 4s
4 + 10 - 10s = 4s
14 = 14 s
s = 1
Stedvektoren til skæringspunktet mellem de to linjer kan nu bestemmes ved at indsætte værdien s = 1 i parameterfremstillingen for m
Skæringspunktet koordinater aflæses som stedvektorens koordinater S = (4 ; 6).
Følgende er ikke nødvendig for bestemmelse af skæringspunktet. Men for at vise, at man får det samme skæringspunktet vha. t-værdien, beregnes t-værdien ved at indsætte s = 1 i
t = -5 + 5 ∙ s = -5 + 5 ∙ 1 = 0
Vha. parameterfremstillingen for l fås
Hvis man bruger et værktøjsprogram kan løsningerne t og s hurtigt bestemmes.
Eksempel 16.3.3
Eksempel 16.3.3
De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne
l : 5x + 4y - 23 = 0
m : 3x - 8y + 7 = 0
Skæringspunktet bestemmes ved at løse de to ligninger med to ubekendte. Det kan gøres med værktøjsprogrammet eller i hånden. Løses i hånden kan man f.eks. gange ligningen for l igennem med 2, fordi vi herved får samme faktor foran y i hver ligning.
l : 2 ∙ (5x + 4y - 23) = 2 ∙ 0
10x + 8y - 46 = 0
Nu lægges ligningen for m til på hver side af lighedstegnet og der reduceres, så vi får skæringspunktets førstekoordinat
10x + 8y - 46 + (3x - 8y + 7) = 0 + 0
13x - 39 = 0
x = 39 / 13
x = 3
Skæringspunktets andenkoordinat bestemmes ved at indsætte x = 3 i en af linjerns ligning og reducere
5x + 4y - 23 = 0
5 ∙ 3 + 4y - 23 = 0
15 + 4y - 23 = 0
4y = 23 - 15
4y = 8
y = 2
Skæringspunktet er S = (3 ; 2)
Eksempel 16.3.4
Eksempel 16.3.4
En ret linje l er givet ved ligningen
l : -2x + 6y + 10 = 0
En anden ret linje m er givet ved parameterfremstillingen
I parameterfremstillingen identificeres koordinatligningerne
x = -1 + t ∙ 3 Ʌ y = 4 + t ∙ (-2)
x = -1 + 3 ∙ t Ʌ y = 4 - 2 ∙ t
Udtrykket for x og for y indsættes i ligningen for l , hvorefter der reduceres
-2 ∙ (-1 + 3 ∙ t) + 6 ∙ (4 - 2 ∙ t) + 10 = 0
2 - 6 ∙ t + 24 - 12 ∙ t + 10 = 0
-18 ∙ t + 36 = 0
-18 ∙ t = -36
t = -36 / -18
t = 2
Herefter indsættes værdien t = 2 i parameterfremstillingen for m
Skæringspunktet koordinater aflæses som stedvektorens koordinater S = (5 ; 0).
Parallelle linjer
Parallelle linjer
To rette linjer, der ikke har et skæringspunkt, kan enten være parallelle eller sammenfaldende.
For at undersøge om to rette linjer er parallelle kan man undersøge om retningsvektorerne eller normalvektorerne er parallelle. Figur 16.3.2 viser hvilke to udtryk man kan bruge for at undersøge, om retningsvektorerne er parallelle.
Man også undersøge om retningsvektoren for den ene linje og normalvektoren for den anden linje er ortogonale. Figur 16.3.3 vise det udtryk man kan bruge for at undersøge dette.
Figur 16.3.2. Hvis de to rette linjer l og m er parallelle gælder disse to udsagn.
Figur 16.3.3. Hvis de to rette linjer l og m er parallelle gælder dette udsagn.
Man kan undersøge, om to parallelle linjer er sammenfaldende ved, at se om et punkt på den ene linje opfylder parameterfremstillingen eller ligningen for den anden linje. Følgende eksempler viser dette.
Eksempel 16.3.5
Eksempel 16.3.5
Linje l og linje m er givet ved følgende parameterfremstillinger
De to linjer er parallelle, fordi determinanten af de to retningsvektorer er nul.
Ud fra stedvektoren i parameterfremstillingen for l ved vi at l går gennem punktet P(3 ; 4).
Vi undersøger, om vi kan finde en parameterværdi for m, der gør, at parameterfremstillingen bliver opfyldt, når stedvektoren til P indsættes
Da den samme s-værdi opfylder begge koordinatligninger, ligger punktet P også på m. Dermed er de to linjer sammenfaldende.
Figur 16.3.4. Linjerne l og m er sammenfaldende.
Eksempel 16.3.6
Eksempel 16.3.6
Linje l og linje m er hhv. givet ved følgende parameterfremstilling og ligning
De to linjer er parallelle, fordi skalarproduktet af retningsvektorer og normalvektoren er nul.
Ud fra stedvektoren i parameterfremstillingen for l ved vi at l går gennem punktet P(2 ; -2).
Vi undersøger, om ligningen for m bliver opfyldt, når P indsættes
Da ligningen ikke opfyldes, ligger punktet P ikke på linjen m. Dermed er de to linjer parallelle men ikke sammenfaldende.
Figur 16.3.4. Linjerne l og m er parallelle men ikke sammenfaldende.
Page updated
Report abuse