Embedded Files
I afsnit 14.2 står der kun afledte funktioner for ganske få elementære funktioner. F.eks. angiver formlerne ikke, hvordan man afleder funktionerne g(x) = 3 · x 4 eller h(x) = x 2 + √x. Vi har brug for nogle regneregler for afledte funktioner.
Formler i formelsamlingen
Formler i formelsamlingen
Her følger en oversigt over regneregler for afledte funktioner, som vi kan bruge, når vi skal aflede funktioner, der er sammensat af de elementære funktioner.
Regneregel 1 - Konstant gange funktion
Formel (122)
(k · f(x))' = k · f '(x)
Eksempel 1
Funktionen g(x) = 3 · x 4 kan afledes vha. regneregel 1, hvis man sætter k = 3 og f(x) = x 4.
g'(x) = (3 · x 4)' = (k · f(x))' = k · f '(x) = 3 · (x 4)' = 3 · (4 · x 3) = 12 · x 3
Regneregel 2- Sum af to funktioner
Formel (123)
(f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x)
Eksempel 2a
Funktionen h(x) = x2 + √x kan afledes vha. regneregel 2, hvis man sætter f(x) = x2 og g(x) = √x.
h'(x) = (x2 + √x)' = (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x) = (x2)' + (√x)' = 2 · x + 1 / (2 · √x)
Eksempel 2b
Funktionen h(x) = 3x2 + 2/x kan afledes vha. regneregel 2 og regneregel 1.
Hvis man sætter f(x) = 3x2 og g(x) = 2/x handler opgaven om at bestemme f '(x) og g'(x) som det ses herunder:
h'(x) = (3x2 + 2/x)' = (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x)
For at bestemme f '(x) bruger man regneregel 1 til at flytte 3-tallet ud af parentesen
f '(x) = (3x2)' = 3 · (x2)' = 3 · (2 · x) = 6x
For at bestemme g'(x) laver man først en omskrivning vha. en brøkregneregel og derefter regneregel 1 til at flytte 2-tallet ud af parentesen
g'(x) = (2/x)' = (2 · 1/x)' = 2 · (1/x)' = 2 · (-1 / x 2) = - 2/x 2
Til sidst samler vi vores mellemregninger
h'(x) = f '(x) + g'(x) = 6x - 2/x 2
Regneregel 3- Differens af to funktioner
Formel (124)
(f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x)
Eksempel 3
Funktionen h(x) = ln(x) - 1/x kan afledes vha. regneregel 3, hvis man sætter f(x) = ln(x) og g(x) = 1/x.
h'(x) = (ln(x) - 1/x)' = (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x) = (ln(x))' - (1/x)' = 1/x - (-1/x 2 ) = 1/x + 1/x 2
Regneregel 4- Produkt af to funktioner
Formel (125)
(f(x) · g(x))' = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
Eksempel 4
Funktionen h(x) = x2 · ex kan afledes vha. regneregel 4, hvis man sætter f(x) = x2 og g(x) = ex.
h'(x) = (x2 · ex)' = (f(x) · g(x))' = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x) = (x2)' · ex + x2 · (ex)' = 2 · x · ex + x2 · ex
Regneregel 5 - Sammensat funktion med lineær indre funktion
Formel (126)
(f(a · x + b))' = a · f '(a · x + b)
For at man kan forstå eksempel 5, skal man have forståelse for de såkaldte sammensatte funktioner. Det kan du læse om i afsnit 14.4.
Eksempel 5a
Funktionen g(x) = (2x + 6)2 er en sammensat funktion, hvor den indre funktion er
q(x) = 2x + 6
og den ydre funktion er
p(q) = q2
Da den indre funktion står på formen a · x + b, hvor a = 2, er den lineær, og regneregel 5 kan anvendes til at bestemme den afledte funktion g'(x).
Formel (126) indebærer, at vi skal aflede den ydre funktion
p'(q) = (q2)' = 2 · q
Formel (126) indebærer, at vi skal gange den afledte ydre funktion med a-værdien af den indre lineære sammenhæng, som i dette eksempel er a = 2.
g'(q) = a · p'(q) = 2 · 2 · q
Ved at erstatte q med den indre funktion fås
g'(x) = 2 · 2 · q = 2 · 2 · (2x + 6) = 4 · (2x + 6) = 8x + 24
Eksempel 5b
Funktionen h(x) = 1 / (x2 - x + 1) er en sammensat funktion, hvor den indre funktion er
q(x) = x2 - x + 1
og den ydre funktion er
p(q) = 1 / q
Da den indre funktion ikke står på formen a · x + b er den ikke lineær. Regneregel 5 kan altså ikke anvendes til at bestemme den afledte funktion h'(x). Hvordan man bestemmer den afledte funktion af h(x) lærer man på A-niveau.
CAS-værktøj
CAS-værktøj
Man kan let bestemme afledte funktioner vha. WordMat og GeoGebra. Nedenfor vises de muligheder vi har, hvis vi skal bestemme den afledte funktion af f(x) = 5 · x3 + 2 · x.
I WordMat er der to muligheder
Skriv udtrykket på højre side af lighedstegnet i en parentes med et mærke for enden. Tast herefter Alt + b , som vist i figur 14.3.1.
Definer funktionen f(x) og skriv f '(x) i en ny linje. Tast herefter Alt + b , som vist i figur 14.3.2.
Figur 14.3.1. Venstre: Indtastning i WordMat. Højre: Outputtet efter man har beregnet med tastekombinationen [Alt + b]. Linje to viser, at man kan undlade at skrive gangetegnet.
Figur 14.3.2. Venstre: Indtastning i WordMat. Højre: Outputtet efter man har beregnet med tastekombinationen [Alt + b].
I GeoGebra er der to muligheder
Skriv udtrykket på højre side af lighedstegnet ind i CAS-værktøjet. Vælg herefter menuen Afledede som vist i figur 14.3.3 og 14.3.4.
Skriv funktionen f(x) i Algebravinduet og indtast herefter enten f '(x) eller Afledede(f(x)) i Inputfeltet som vist i figur 14.3.5, 14.3.6 og 14.3.7.
Figur 14.3.3. Udtrykket indtastes og værktøjet, der afleder udtrykket, vælges.
Figur 14.3.4. Det afledte udtryk vises.
Figur 14.3.5. Man kan aflede med kommandoen f'(x).
Figur 14.3.6. Man kan aflede med kommandoen Afledede(f(x)).
Figur 14.3.7. Den afledte funktion vises.
Page updated
Report abuse