Embedded Files
Vi er specielt interesseret i at kende hældningskoefficienter af tangenter. Grunden til dette kommer vi tilbage til i et senere afsnit. Som vi så i figur 14.2 ændrer tangenternes hældningskoefficient sig, når x ændrer sig. Vores første mål er at bestemme en formel, som kan bruges til at beregne tangentens hældningskoefficient for en vilkårlig x-værdi. Hertil anvender vi regression.
Regression
Regression
Figur 14.1.1 viser grafen for andengradspolynomiet
f(x) = x2 + 1
På grafen er der indsat syv punkter. Vi vil anvende GeoGebra til at bestemme en ligning for de tangenter, der har disse punkter som røringspunkter.
Figur 14.1.1. Grafen for f(x) = x2 + 1.
På figur 14.1.2 er tangenten gennem røringspunktet P2 tegnet. Ud fra tangentens ligning kan vi aflæse tangentens hældning til
at = -4
P2's førstekoordinat x = -2 og tangenthældningen at = -4 indskrives som sammenhørende værdier i et regneark.
Herefter bestemmes hældningen af tangenterne gennem de andre røringspunkter. De aflæste værdier indtastes i regnearket.
På figur 14.1.3 er der lavet en regression på værdierne i regnearket. Det viser sig, at en lineær model passer perfekt.
Figur 14.1.2. Tangenten til røringspunktet P2 og tangentens ligning.
Figur 14.1.3. Den lineære sammenhæng mellem tangenthældningen og x-værdien.
Formel
Formel
Den lineære regressionsmodel y = 2x, hvor x angiver x-værdien og y angiver tangenternes hældningskoefficient, giver os følgende formel til at beregne tangenthældningerne for funktionen f(x) = x2 + 1
at = 2 · x
Anvendelse
Anvendelse
Med formlen vil vi nu beregne hældningskoefficienten af den tangent, som går gennem røringspunktet P(0,5 ; f(0,5)).
Da røringspunktets x-værdi er 0,5, indsættes x = 0,5 i formlen at = 2 · x
at = 2 · 0,5 = 1
På figur 14.1.4 kan vi se, at GeoGebra bestemmer hældningen af tangenten, som går gennem røringspunktet P(0,5 ; f(0,5)), til at være 1, idet der står et usynligt 1-tal foran x i ligningen
t: y = x + 0,75
Den fundne formel og GeoGebra giver den sammen hældningskoefficient.
Figur 14.1.4. Tangenten i røringspunktet hvor x = 0,5 har en hældningskoefficient på 1.
Bemærk at vi ikke med sikkerhed kan sige, at formlen er korrekt, for vi har jo ikke kontrolleret med samtlige x-værdier langs parablen. Det er i øvrigt heller ikke muligt, for dem er der jo uendeligt mange af. Et egentligt bevis for, at formlen er korrekt, vender vi tilbage til.
Page updated
Report abuse