Embedded Files
Figur 8.2.1 viser en tabel for x og y i en eksponentiel vækst.
Hver gang vi går et trin til højre i tabellen, bliver x-værdien 1 større. For x-værdien er der en absolut vækst på +1.
Samtidig ser vi, at y-værdien bliver ganget med samme tal, nemlig fremskrivningsfaktoren a, for hvert trin. For y-værdien er der en relativ vækst på a.
Man kan generalisere systemet i figur 8.2.1 til at gælde for en vilkårlig absolut x-tilvækst, som vi kalder for ∆x. Det leder fra til følgende sætning
Figur 8.2.1. Tabel over eksponentiel vækst. Når x vokser med 1, vokser y med faktoren a.
Sætning 8.2.1 - Vækstegenskab for eksponentiel funktion
Sætning 8.2.1 - Vækstegenskab for eksponentiel funktion
For en eksponentiel funktion f(x) = b ∙ ax gælder, at når x-værdien har en absolut tilvækst på ∆x, så vil den tilsvarende y-værdi have en relativ tilvækst på aΔx. Udtrykt med formler kan sætningen skrives som følger:
Hvis
y1 = b ∙ ax1 og y2 = b ∙ ax2 og x2 = x1 + ∆x
så er
y2 = y1 ∙ aΔx
Hvis vi bruger notationen med funktioner, ser det ud som:
Hvis
f(x1) = b ∙ ax1 og f(x2) = b ∙ ax2 og x2 = x1 + ∆x
så er
f(x2) = f(x1) ∙ aΔx
Bevis for sætning 8.2.1
Bevis for sætning 8.2.1
Lad os se på en bestemt x-værdi, som vi kalder for x1. Den tilsvarende y-værdi kaldes for y1. Hvis x1 og y1 indsættes i regneforskriften for den eksponentielle funktion fås
y1 = b ∙ ax1
Hvis vi lader x1-værdien vokse med en vilkårlig værdi ∆x, får vi en ny x-værdi, som kaldes x2 = x1 + ∆x. Den tilsvarende y-værdi y2 kan nu bestemmes ved hjælp af regneforskriften
y2 = b ∙ ax2 = b ∙ a(x1 + Δx)
Ved at bruge potensregneregel nummer 1 kan udtrykket omskrives til
y2 = b ∙ ax1 ∙ aΔx
De to første faktorer i udtrykket er netop lig med y1 dvs.
y2 = y1 ∙ aΔx
Konklusion: Når x-værdien får en tilvækst på ∆x, beregnes den nye y-værdi y2 ved at gange den oprindelige y-værdi y1 med fremskrivningsfaktoren a opløftet i x-tilvæksten ∆x.
Det betyder: Hvis x-værdien i en eksponentiel sammenhæng vokser med ∆x, så skal den tilhørende y-værdi ganges med aΔx.
Bemærk at vi ikke har taget udgangspunkt i en bestemt x-værdi. Den eksponentielle vækstegenskab vil altså gælde ligegyldigt hvilken x-værdi vi betragter. Vi har nu bevist sætningen.
Eksempel 1
En funktion er givet ved f(x) = 5 ∙ 1,2x .
Hvis x-værdien vokser med ∆x = 1 vil den nye funktionsværdi kunne beregnes med
f(x) ∙ 1,21 = f(x) ∙ 1,2.
Når funktionsværdien ganges med en fremskrivningsfaktor på 1,2, svarer det til en relativ eller procentvis vækst på 1,2 - 1 = 0,2 = 20%.
Eksempel 2
En funktion er givet ved g(x) = 2 ∙ 0,7x .
Hvis x-værdien vokser med ∆x = 2,5 vil den nye funktionsværdi kunne beregnes med
g(x) ∙ 0,72,5 = g(x) ∙ 0,41.
Når funktionsværdien ganges med en fremskrivningsfaktor på 0,41, svarer det til en relativ eller procentvis vækst på 0,41 - 1 = -0,59 = -59%.
Eksempel 3
En funktion er givet ved h(x) = 7,81 ∙ 1,6x .
Hvis x-værdien vokser med ∆x = 4 vil den nye funktionsværdi kunne beregnes med
h(x) ∙ 1,64 = h(x) ∙ 4,096.
Når funktionsværdien ganges med en fremskrivningsfaktor på 4,096, svarer det til en relativ eller procentvis vækst på 4,096 - 1 = 3,096 = 309,6%.
Page updated
Report abuse