Embedded Files
Regneforskrift ud fra to punkter med CAS-værktøj
Regneforskrift ud fra to punkter med CAS-værktøj
Hvis vi skal finde forskriften for en potensfunktion ud fra to punkter på grafen, kan vi gøre det ved at løse to ligninger med to ubekendte. Vi ser på eksemplet vist i figur 11.3.1, hvor grafen for en potensfunktion går gennem punkterne P(x1 ; y1) = (5 ; 3) og Q(x2 ; y2) = (8 ; 7).
Vi kender den generelle formel for potensvækst: y = b · x a. Her skal vi bestemme tallene a og b. Det gøres ved at indsætte vores to punkter i regneforskriften:
Punktet (5 ; 3) giver ligningen: 3 = b · 5 a
Punktet (8 ; 7) giver ligningen: 7 = b · 8 a
De to ligninger kan løses vha. WordMat som vist på figur 11.3.2 og 11.3.3 eller vha. GeoGebra som vist på figur 11.3.4.
Figur 11.3.1. Vi skal bestemme forskriften for potensfunktionen.
Figur 11.3.2. De to ligninger indskrives under hinanden i Word. Ligningerne markeres og der trykket Alt + L.
Figur 11.3.3. WordMat giver værdien for a og b i de to ligninger.
Figur 11.3.4. De to ligninger indskrives efter hinanden i en krøllet parentes med et komma imellem. Ligningen løses.
Vha. værktøjsprogrammet finder vi at
a = 1,8027
b = 0,1648
Forskriften for den potensfunktion, hvis graf går gennem de to punkter er derfor
f(x) = 0,1648 · x 1,8027
Regneforskrift ud fra to punkter uden CAS-værktøj
Regneforskrift ud fra to punkter uden CAS-værktøj
Hvis man ikke har et værktøjsprogram til rådighed, skal man benytte metoden, som er beskrevet herunder og vist i figur 11.3.5.
Vi har de to ligninger 3 = b · 5 a og 7 = b · 8 a
De to tal i ligningernes venstre side divideres med hinanden. F.eks. 7 / 3.
7-tallet og 3-tallet erstattes nu af de to udtryk som de hhv. er lig med. Herved opstår første udtryk i figur 11.3.5.
Faktoren b kan forkortes væk.
Da a'erne står som eksponenter kan de ikke forkortes væk. I stedet for anvendes en potensregneregel, så vi kun har a stående et sted i ligningen.
For at få a'et væk fra eksponenten anvender vi en logaritmeregneregel.
Til sidst isoleres a-værdien.
Da logaritmefunktionen indgår i udtrykket for a-værdien, beregnes resultatet med en computer.
Figur 11.3.5. a isoleres i ligningen.
Når vi kender a-værdien, beregnes b-værdien ved at indsætte a-værdien i en af ligningerne, f.eks.
7 = b · 8 1,8027
og derefter isolere b
b = 7 / 8 1,8027 = 0,1649
Værdien af b stemmer ikke helt overens med det resultat, som CAS-værktøjet fandt ved løsningen af ligningssystemet. Det skyldes, at b er beregnet ud fra en afrundet a-værdi.
Sætning 11.3.1 - To-punktsformlen
Sætning 11.3.1 - To-punktsformlen
For en potensfunktion f(x) = b · x a hvis graf går igennem punkterne (x1 , y1) og (x2 , y2) beregnes a og b med følgende formler
Formel 114 i formelsamlingen
Formel 114 i formelsamlingen
Formel 115 i formelsamlingen
Bevis for sætning 11.3.1
Bevis for sætning 11.3.1
Først bevises formlerne til beregning af a-værdien. Hvis vi har følgende to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) på grafen for en potensfunktion, så gælder ligningerne
y1 = b ∙ x1a
og
y2 = b ∙ x2a
Hvis vi opskriver brøken
y2 / y1
kan vi indsætte de to højresider fra ligningerne og få
y2 / y1 = (b ∙ x2a) / (b ∙ x1a)
Der forkortes med b
y2 / y1 = (x2a) / (x1a)
Nu bruges en potensregneregel
y2 / y1 = (x2 / x1) a
Da vi er interesserede i en formel for a-værdien,, vil vi isolere a vha. den tredje 10-tals-logaritme-regneregel (formel 98)
log( y2 / y1 ) = log( (x2 / x1) a )
log( y2 / y1 ) = a ∙ log( (x2 / x1) )
Vi isolerer a og har dermed bevist første halvdel den første formel
log( y2 / y1 ) / log(x2 / x1) = a
a = log( y2 / y1 ) / log(x2 / x1)
Den anden halvdel af første formel kan bevises vha. den anden 10-tals-logaritme-regneregel (formel 97)
a = log( y2 / y1 ) / log(x2 / x1) = ( log( y2 ) - log( y1 ) ) / ( log(x2 ) - log( x1) )
Den anden formel for a kan bevises på tilsvarende måde, hvis vi i stedet for at bruge regneregler for 10-tals-logaritmens bruger de tilsvarende regneregler for den naturlige logaritme. Dette vil ikke blive bevist her.
Vi mangler nu at bevise formlerne for b-værdien. Da punktet (x1 , y1) ligger på grafen for potensfunktionen, opfylder den ligningen y = b ∙ x a dvs.
y1 = b ∙ x1a
Vi isolerer b ved at dividere med x1a
y1 / x1a = b
b = y1 / x1a
Vi har dermed bevist første halvdel af formlen. Da vi lige så godt kunne have indsat koordinaterne for punktet (x2 , y2) i ligningen y = b ∙ x a ville vi på tilsvarende måde have fået udledt den anden formel
b = y2 / x2a
Page updated
Report abuse