Der findes tre logaritmeregneregler, som alle står i formelsamlingen.
Regneregel 1 - formel (96)
log(a · b) = log(a) + log(b)
Regneregel 2 - formel (97)
log(a/b) = log(a) - log(b)
Regneregel 3 - formel (98)
log(a r) = r · log(a)
I vil hovedsageligt komme til at anvende regneregel 3. Den får vi brug for, når vi skal løse ligninger, hvor x står som en eksponent, samt ved beviser i forbindelse med eksponentielle funktioner og potensfunktioner. Regneregel 2 kommer vi til at bruge ved et bevis i forbindelse med potensfunktioner. Regneregel 1 kommer vi til at bruge, når vi skal kigge på den historiske anvendelse af logaritmer i afsnit 10.5.
Eksempel 7 - Anvendelse af regneregel 3
Vi vil løse følgende ligning, hvor x optræder som eksponent:
6 x = 7776
Egentlig burde vi have en 6-tals-logaritme, for så vi kunne gøre som i eksempel 10.1.5, hvor det at indføre 10-tals-logaritmen på begge sider af lighedstegnet fik grundtallet 10 til at forsvinde, idet log(10 x) = x.
Med en 6-tals-logaritme kunne vi have omskrevet vores ligning til log6(6 x) = log6(7776) og videre til x = log6(7776). Men denne metode ville så betyde, at vi skulle have en logaritme for hvert eneste grundtal a i potensen a x. Men da a kan være et hvilket som helst positivt tal, ville vi have brug for uendelig mange logaritmer, og det kan vi jo ikke arbejde med. I stedet for anvender vi regneregel 3 til at løse vores ligning.
Først tages logaritmen på hver side af lighedstegnet
log(6 x) = log(7776)
Så anvendes logaritmeregel 3 på venstre side af lighedstegnet
x · log(6) = log(7776)
Herefter isoleres x ved at dividere med log(6)
x · log(6) / log(6) = log(7776) / log(6)
x = log(7776) / log(6)
Da vi ikke kan beregne logaritmeværdierne i hovedet, bruges computeren til den sidste beregning
x = 5
Eksempel 8 - Anvendelse af regneregel 3
Vi vil løse følgende ligning, hvor x optræder som eksponent:
1,37 x = 2,44
Først tages logaritmen på hver side af lighedstegnet
log(1,37 x) = log(2,44)
Så anvendes logaritmeregel 3 på venstre side af lighedstegnet
x · log(1,37) = log(2,44)
Herefter isoleres x ved at dividere med log(1,37)
x · log(1,37) / log(1,37) = log(2,44) / log(1,37)
x = log(2,44) / log(1,37)
Da vi ikke kan beregne logaritmeværdierne i hovedet, bruges computeren til den sidste beregning
x = 2,83344
Eksempel 9 - Anvendelse af regneregel 3
En bakteriekoloni med 10.000 individer vokser med 17% i timen. Da der er en fast procentvis stigning, kan udviklingen beskrives ved en eksponentiel vækst på formen N(t) = b · a t, hvor N(t) angiver antallet af bakterier i kolonien, og t angiver tiden (målt i timer). Med det angivne startantal og den angivne vækstrate bliver forskriften
N(t) = 10.000 · 1,17 t
Hvis vi vil bestemme, hvornår bakterieantallet er fordoblet, skal vi finde det tidspunkt, t, hvor N(t) = 20.000 (det dobbelte af 10.000). Derfor opstiller vi ligningen
20.000 = 10.000 · 1,17 t
For at isolere t divideres først med 10.000
2 = 1,17 t
Så tages logaritmen på begge sider af lighedstegnet
log(2) = log(1,17 t)
hvorefter regneregel 3 benyttes på højre side af lighedstegnet
log(2) = t · log(1,17)
Til sidst divideres med log(1,17) så t isoleres
log(2) / log(1,17) = t
Vi beregner værdien for t med computeren og får
t = log(2) / log(1,17) = 4,41
Det betyder, at bakteriekulturen er fordoblet efter 4,41 timers forløb.
Regneregel 1
Ved at bruge udtryk (2) i definitionen af 10-tals-logaritmen kan vi skrive tallene a og b på følgende måde
a = 10 log(a)
og
b = 10 log(b)
Hvis vi udregner produktet af a og b får vi
a · b = 10 log(a) · 10 log(b)
Vha. potensregneregel 1 kan dette omskrives til
a · b = 10 log(a) + log(b)
For at få et udtryk der indgår i regneregel 1, tager vi logaritmen på begge sider af lighedstegnet
log(a · b) = log( 10 log(a) + log(b) )
Ved at bruge udtryk (1) i definitionen af 10-tals-logaritmen kan højre side af lighedstegnet omskrives til
log(a · b) = log(a) + log(b)
Vi har nu bevist logaritmeregneregel 1.
Regneregel 2
For at få et udtryk der indgår i regneregel 2, skriver vi tallet a på denne måde
a = (a/b) · b
Herefter tager vi logaritmen på begge sider af lighedstegnet
log(a) = log( (a/b) · b )
Vi kan nu bruge den netop beviste regneregel 1 på højre side af lighedstegnet, hvorved vi får
log(a) = log(a/b) + log(b)
Ved at trække log(b) fra på hver side af lighedstegnet fås
log(a) - log(b) = log(a/b)
Byttes om på siderne i udtrykket, sådan her:
log(a/b) = log(a) - log(b)
kan vi se, at logaritmeregneregel 2 er bevist.
Regneregel 3
Vi skriver igen tallet a på følgende måde
a = 10 log(a)
Herefter opløftes hver side af lighedstegnet i r'te potens.
a r = ( 10 log(a) ) r
Så bruges potensregneregel 5 (fra afsnit 4.5) på højre side af lighedstegnet
a r = ( 10 log(a) ∙ r )
a r = (10 r ∙ log(a))
For at få et udtryk der indgår i regneregel 3 tager vi logaritmen på begge sider af lighedstegnet
log(a r) = log(10 r ∙ log(a))
Ved at bruge udtryk (1) i definitionen af 10-tals-logaritmen kan højre side af lighedstegnet omskrives til
log(a r) = r · log(a)
Vi har nu bevist logaritmeregneregel 3.