Oftest udtrykker man tangenternes hældningskoefficient med en funktion i stedet for en ligning. Denne funktion kaldes den afledte funktion, og den betegnes med symbolet f '(x). Dette symbol kaldes også for f-mærke. Når man bestemmer den afledte funktion, siger man, at man afleder en funktion.
Hvis funktionen er angivet ved en ligning y, kan man også tale om ligningen for den afledte funktion, der betegnes med y'. Dette symbol kaldes også for y-mærke.
Eksempel 1
Da formlen til at beregne hældningskoefficienten af tangenterne til grafen for funktionen f(x) = x2 + 1 fra afsnit 14.1 er at = 2 · x, siger man, at den afledte funktion til f(x) = x2 + 1 er
f '(x) = 2 · x
Med den afledte funktion vil vi nu beregne hældningskoefficienten af den tangent, som går gennem røringspunktet P(0,5 ; f(0,5)). Man skriver det på følgende måde
at = f '(0,5) = 2 · 0,5 = 1
Her følger en oversigt over elementære funktioner og deres afledte funktion.
Lineære funktioner
Formel (127) - en ret linje
f(x) = a · x + b f '(x) = a
Formel (128) - en konstant vandret linje
f(x) = k f '(x) = 0
Logaritmefunktion
Formel (129) - den naturlige logaritme
f(x) = ln(x) f '(x) = 1 / x
Eksponentialfunktioner
Formel (130)
f(x) = e x f '(x) = e x
Formel (131)
f(x) = e kx f '(x) = k · e kx
Formel (132)
f(x) = a x f '(x) = a x · ln(a)
Potensfunktioner
Formel (133)
f(x) = x a f '(x) = a · x a-1
Formel (134)
f(x) = x -1 f '(x) = - x -2
f(x) = 1 / x f '(x) = -1 / x 2
Formel (135)
f(x) = x 0,5 f '(x) = 0,5 · x -0,5
f(x) = √x f '(x) = 1 / (2 · √x)
Eksempel 2
Funktionen g(x) = x3 er en potensfunktion hvor a = 3. Ifølge formel (133) er den afledte funktion givet ved
g'(x) = (x3)' = 3 · x2
Hældningskoefficienten for den tangent til grafen for g, der går gennem punktet (2 , g(2)), kan nu beregnes til
g'(2) = 3 · 22 = 3 · 4 = 12
Tilsvarende kan hældningskoefficienten for den tangent til grafen for g, der går gennem punktet (-3 , g(-3)), beregnes til
g'(-3) = 3 · (-3)2 = 3 · 9 = 27
Eksempel 3
En lineær funktion er givet ved ligningen y = 5x - 9 hvor a = 5 og b = -9. Ifølge formel (127) er den afledte funktion givet ved ligningen
y' = (5x - 9)' = 5