Embedded Files
Ved afstanden mellem et punkt og en ret linje forstår man den kortest mulige afstand. Dette opnår man, hvis man fra punktet bevæger sig vinkelret ind mod linjen.
Som symbol for afstanden mellem et punkt P og en linje l bruges dist(P,l).
Sætning 16.6.1. Afstand mellem punkt og linje
Sætning 16.6.1. Afstand mellem punkt og linje
Afstanden mellem et punkt P(x1 , y1 ) og linjen l givet ved ligningen n1 ∙ x + n2 ∙ y + c = 0 beregnes med formlen
Bevis for sætning 16.6.1
Bevis for sætning 16.6.1
Hvis vi lader P0(x0 , y0 ) være et vilkårligt punkt på linjen l, så kan vi danne vektor P0P, hvor P(x1 , y1 ) er et punkt der ikke befinder sig på linjen l.
Normalvektoren for linjen l placeres med begyndelsespunkt i P0 .
Herved kan vektor P0P vha. indskudssætningen opdeles i to vektorer: en der er parallel med normalvektoren og en der er ortogonal på normalvektoren
Længden af vektoren parallel med normalvektoren er netop lig med afstanden mellem punktet og linjen.
Da vektoren parallel med normalvektoren også er lig med projektionen af vektor P0P ind på normalvektor n, opskrives udtrykket for længden af projektionsvektoren vha. sætning 13.6.1.
Koordinaterne for vektorerne kendes
Skalarproduktet beregnes, hvorefter der rokeres på nogle rækkefølger af led og faktorer
I beviset for sætning 16.2.1 introducerede vi konstanten c
Hvis c indføres i skalarproduktet fås
Ved at indføre skalarproduktet og længden af normalvektoren er sætning 16.6.1 bevist.
Eksempel
Eksempel
For at bestemme afstanden mellem punktet P(3,5) og linjen givet ligningen 4x + 2y + 10 = 0 identificeres konstanterne i dist-formlen
Herefter indsættes i dist-formlen og resultatet beregnes
Page updated
Report abuse