Embedded Files
Projektion handler om at afbilde (eller gengive) en figur med én dimension mindre end den faktisk har. F.eks. består billederne i en film af projektioner af 3-dimensionelle figurer på en 2-dimensionel skærm. På lignende måde kan man projicere 2-dimensionelle vektorer på en 1-dimensionel akse.
Ligesom en 3-dimensionel figur kan projiceres på to forskellige 2-dimensionelle flader, f.eks. hvis to kameraer filmer figuren fra to forskellige retninger, kan en 2-dimensionel vektor også projiceres på akser med forskellige retninger. Man kan f.eks. projicere en vektor ned på x-aksen, på y-aksen eller på en anden vektor. Eksempler på dette er vist i figur 13.6.1. Figurerne illustrerer, at projektionen foregår ved, at man flytter begyndelses- og endepunkt for den vektor, der skal projiceres, vinkelret ind på den akse eller vektor, hvorpå der projiceres.
Figur 13.6.1a. Vektor a projiceret ned på x-aksen.
Figur 13.6.1b. Vektor a projiceret ned på y-aksen.
Figur 13.6.1c. Vektor a projiceret ned på vektor b.
Figur 13.6.1d. Vektor b projiceret ned på vektor a.
Man kan beregne koordinaterne af en projektionsvektor, hvis man kender koordinaterne af den vektor, der skal projiceres, og koordinaterne af den vektor, der bliver projiceret ned på. Hvis man skal projicere ind på x- eller y-aksen, får man ikke oplyst en vektor. Men så kan man selv opfinde koordinater til en vektor, der ligger på den aktuelle akse.
Koordinaterne af projektionsvektoren er givet ved følgende sætning, som ikke bevises på B-niveau.
Sætning 13.6.1 - Projektionsformlen
Sætning 13.6.1 - Projektionsformlen
Hvis vektor b projiceres ned på vektor a, er projektionsvektoren givet ved formlen
Længden af projektionsvektoren er givet ved formlen
Eksempel 13.6.1 - Beregning af projektionsvektor og dens længde
For at bestemme projektionen af vektor b
på vektor a
bestemmes først skalarproduktet
Så bestemmes længden af vektor a i anden
Til sidst sættes ind i formlen og brøken ganges ind i vektor a
For at bestemmes længden af projektionsvektoren sættes ind i formlen
Bemærk at de lodrette streger i tælleren angiver den numeriske værdi af tallet, mens de lodrette streger i nævneren angiver længden af vektoren.
Eksempel 13.6.2 - Konstruktion af projektionsvektor i GeoGebra
Hvis man skal konstruere projektionsvektoren fra eksempel 13.6.1 i GeoGebra, kan man bruge følgende metode.
Figur 13.6.2a. Vektorerne tegnes.
Figur 13.6.2b. Punkt B indsættes og den vinkelrette linje på vektor a gennem B laves med "Vinkelret linje"-værktøjet.
Figur 13.6.2c. Man kan ikke bestemme skæringspunkt mellem linje og vektor. Derfor indsætte punkt A og O.
Figur 13.6.2d. Der laves en linje gennem punkt A og O med "Linje"-værktøjet.
Figur 13.6.2e. Skæringspunktet mellem linjerne f og g findes. C's koordinater er de samme som projektionsvektorens koordinater.
Figur 13.6.2f. Længden af projektionsvektoren er lig med afstanden mellem O og C.
Projektion ved stumpe vinkler
Projektion ved stumpe vinkler
Illustrationerne i figur 13.6.1 viser alle eksempler, hvor vinklen mellem vektorerne er under 90°.
Hvis vinklen mellem vektorerne er over 90°, vil skalarproduktet af vektorerne blive negativt. I formlen til beregning af projektionsvektoren vil den vektor, som der projiceres ned på, så blive gange med et negativt tal. Projektionsvektoren vil derfor være modsatrettet vektoren, som der projiceres ned på. Figur 13.6.3 illustrerer situationen.
Figur 13.6.3. Projektion ved stump vinkel mellem vektorerne.
Page updated
Report abuse