Når man beregner en væksthastighed, skal man altid huske at angive den enhed, som væksthastigheden bliver målt i. Man bestemmer væksthastighedens enhed ved at skrive enheden på y-aksen divideret med enheden på x-aksen.

Væksthastighedens enhed = "Enheden for y" / "Enheden for x" 

Grunden til at væksthastighedens enhed bestemmes sådan er, at væksthastigheden angives ved den afledte funktion til et bestemt tidspunkt f ’(t0), og at den afledte funktion til et bestemt tidspunkt angiver hældningskoefficienten af tangenten til grafen i røringspunktet P( t0 , f(t0) ). Da tangenten er en ret linje, kan dens hældningskoefficient beregnes med formlen for hældningen af en ret linje (formel (80) i formelsamlingen):

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

dvs. en forskel mellem to y-værdier (Δy) divideret med en forskel mellem to x-værdier (Δx), som også kan skrives:

a = Δy / Δx

Da forskellen mellem to y-værdier har samme enhed som y-værdien, og tilsvarende med x-værdien, er væksthastighedens enhed altså som angivet ovenfor.

I eksemplerne nedenfor er vist hvordan væksthastigheden tilskrives en enhed og hvordan man konkluderer.

I et forsøg undersøges populationen af en koloni af E. coli-bakterier i en væske. Man finder at populationen kan beskrives med modellen

N(t) = 2,464 ∙ e0,0202 ∙ t , 0 ≤ t ≤ 240

hvor N(t) angiver bakteriekoncentrationen (målt i tusinder bakterier pr liter), og t angiver tiden efter forsøgets start (målt i minutter).

Grafen i figur 14.6.1 viser, hvordan bakteriekoncentrationen vokser eksponentielt i det tidsrum forsøget blev udført. Bakteriekolonien vil selvfølgelig ikke blive ved med at vokse. Der vil være en naturlig grænse for, hvor mange bakterier der kan overleve, i forhold til den næring der er til rådighed.

Den afledte funktion findes med værktøjsprogram til at være

N'(t) = 0,04977 ∙ e0,0202 ∙ t , 0 ≤ t ≤ 240

Vi ønsker at bestemme populationens væksthastigheden efter 150 minutter. Derfor beregnes hældningen af tangenten i punktet P(150, N(150))

N'(150) = 0,04977 ∙ e0,0202 ∙ 150 = 1,030

Ved en kemisk reaktion er koncentrationen af et bestemt stof givet ved modellen

c(t) = 8,2 ∙ (1 - e -0,03 ∙ t) , t ≥ 0

hvor c(t) angiver koncentrationen (målt i mmol/L = milli-mol/L), og t angiver tiden (målt i sekunder).

Grafen i figur 14.6.2 viser, hvordan koncentrationen af stoffet først stiger hurtigt men så langsommere og langsommere. Efterhånden opnås en konstant koncentration. 

Den afledte funktion findes med værktøjsprogram til at være

c'(t) = 0,246 ∙ e -0,03 ∙ t , t ≥ 0

Den afledte funktion angiver den hastighed, hvormed reaktionen forløber. Den kaldes for reaktionshastigheden.

Hvis vi vil bestemme reaktionshastigheden efter 60 sekunder beregnes hældningen af tangenten i punktet P(60, c(60))

c'(60) = 0,246 ∙ e -0,03 ∙ 60 = 6,84

Med et frit fald menes et fald, hvor der ikke opleves luftmodstand. Strækningen, en genstand bevæger sig under et frit fald, afhænger af faldtiden på følgende måde 

s(t) = 4,91 ∙ t 2 , t ≥ 0

hvor s(t) angiver strækningen (målt i meter), og t angiver faldtiden (målt i sekunder).

Grafen i figur 14.6.3 viser strækningen som funktion af tiden.

Den afledte funktion findes med værktøjsprogram til at være

s'(t) = 9,82 ∙ t , t ≥ 0

Den afledte funktion angiver den hastighed, hvormed strækningen ændrer sig. Det er det, vi normalt kalder for farten. Dvs. at genstandens fart til forskellige tidspunkter kan beregnes med formlen

v(t) = s'(t) = 9,82 ∙ t , t ≥ 0

hvor v(t) angiver farten (målt i meter/sekund), og t angiver faldtiden (målt i sekunder).

Hvis vi vil bestemme hvor hurtigt genstanden falder efter præcist 5 sekunder beregnes hældningen af tangenten i punktet P(5, s(5))

  v(5) = s'(5) = 9,82 ∙ 5 = 49,1

Normalkurven over højden for piger i alderen 0 til 48 måneder kan beskrives med modellen 

h(t) = 49,8 + 6,32 ∙ t 0,554 , 0 ≤ t ≤ 48 

hvor h(t) angiver højden (målt i cm), og t angiver alderen (målt i måneder).

Normalkurven angiver medianen af pigernes højde til forskellige tidspunkter. Dvs. at den højeste halvdel af alle piger med en given alder har en højde, der ligger over kurven, mens den laveste halvdel af alle piger med en given alder har en højde, der ligger under kurven. På figur 14.6.4 er normalkurven vist med den røde graf. De andre grafer repræsenterer hvordan højden er fordelt, indenfor det man kalder 1, 2 og 3 standardafvigelser.

Den afledte funktion findes med værktøjsprogram til at være

h'(t) = 3,50128 ∙ t -0,446 , 0 ≤ t ≤ 48 

Vi ønsker at bestemme væksthastigheden for en 12 måneder gammel pige der følger normalkurven . Derfor beregnes hældningen af tangenten i punktet P(12, h(12))

h'(12) = 3,50128 ∙ 12 -0,446 = 1,15588 ≈ 1,2

Den største væksthastighed finder man på en graf der, hvor tangenten har den største hældningskoefficient. Da det kan være vanskeligt at vurdere, hvor på grafen tangenten er stejlest, kan man med fordel tegne grafen for den afledte funktion. Der hvor den afledte funktion har sit højeste punkt, har vi den stejleste tangent, og dermed den maksimale væksthastigheden. 

Bemærk at den stejleste tangent godt kan have en negativ hældningskoefficient. Så vil den maksimale væksthastighed være der, hvor den afledte funktion har sit laveste punkt. Det vil være tilfældet, hvis funktionen er aftagende.

Eksempel 5 viser hvordan man kan bestemme den maksimale væksthastighed.

Efter en frokost stilles en uren tallerken på køkkenbordet. På tallerkenen befinder der sig 10 bakterier. Bakterierne vil hurtigt begynde at formere sig, da der er rigeligt med næring på tallerkenen. Men efterhånden som der kommer flere bakterier, bliver konkurrencen om føden skærpet. Derfor begynder bakterievæksten på et tidspunkt at blive hæmmet. Det ender med, at der kun er plads til 50000 bakterier på tallerkenen.

Bakterievæksten kan beskrives ved følgende regneforskrift, hvor N er antallet af bakterier og t er tiden siden tallerkenen blev stillet på bordet. Grafen i figur 14.6.5a viser antallet af bakterier som funktion af tiden.

N(t) = 50000 / (1 + 4999 ∙ e -50000 ∙ 0,000003 ∙ t ) , t ≥ 0

Ved at beregne den afledte funktion i GeoGebra, får vi tegnet den grønne graf N'(t), som vises i figur 14.6.5b. Vi undlader at opskrive forskriften for den afledte funktion, da den er kompliceret og ikke skal bruges i det efterfølgende. På figur 14.6.5b kan vi se, at grafen har et toppunkt. Der er altså et tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst. Vha. ekstremumsværktøjet i GeoGebra bestemmes toppunktets koordinater.

Vi konkluderer, at væksthastigheden for udviklingen af bakterier er størst efter 5,7 timer, og at den maksimale væksthastighed er 18750 bakterier pr time.