I afsnit 7.5 blev der argumenteret for, hvorfor fortegnet for andengradskoefficienten a i andengradspolynomiet
p(x) = a∙x2 + b∙x + c
har betydning for om parablens grene vender opad eller nedad.
I afsnit 7.3 blev der argumenteret for, at nultegradskoefficienten c angiver parablens skæring med y-aksen. Desuden blev følgende sætning postuleret.
For andengradspolynomiet
p(x) = a∙x2 + b∙x + c
angiver førstegradskoefficienten b hældningen af tangenten til parablen i røringspunktet, hvor parablen skærer y-aksen.
Sætningen bevises vha. den afledte funktion. Den afledte funktion for andengradspolynomiet
p'(x) = ( a∙x2 + b∙x + c )' = ( a∙x2 )' + ( b∙x )' + ( c )' = 2a∙x + b + 0 = 2a∙x + b
angiver en funktion over hældningskoefficienten af de tangenter, som man kan lave langs parablen. I det røringspunkt, som ligger på y-aksen, er x-værdien x0= 0. Herved fås hældningskoefficienten
p'(x0) = p'(0) = 2a∙0 + b = b
Hermed er sætning 17.4.1 bevist.
For andengradspolynomiet
p(x) = a∙x2 + b∙x + c
er ligningen for tangenten til parablen i røringspunktet, som ligger på y-aksen, givet ved
y = b∙x + c
Tangentligningen er givet ved
y = p'(x0) · (x - x0) + p(x0)
I røringspunktet, som ligger på y-aksen, er x0 = 0. Indsættes i tangentligningen fås
y = p'(0) · (x - 0) + p(0)
Da sætning 17.4.1. giver, at p'(x0) = b og da p(0) = c har vi
y = p'(0) · x + p(0)
y = b · x + c
Hermed er sætning 17.4.2 bevist.
For andengradspolynomiet
p(x) = a∙x2 + b∙x + c
er toppunktet givet ved T( xT , yT ) = ( -b / 2a , -d / 4a ), hvor d = b2 - 4a∙c.
I toppunktet har parablen en vandret tangent. Derfor vil toppunktet have den x-værdi xT der opfylder ligningen
p'(xT) = 0
Ved at benytte den afledte funktion for andengradspolynomiet fås
2a∙xT + b = 0
2a∙xT = - b
xT = -b / 2a
Toppunktets andenkoordinat kan beregnes ved at indsætte xT i regneforskriften
yT = p(xT)
yT = a ∙ xT2 + b ∙ xT + c
yT = a ∙ (-b / 2a)2 + b ∙ (-b / 2a) + c
yT = a ∙ ( b2 / 4a2 ) - b2 / 2a + c
yT = a ∙ b2 / 4a2 - b2 / 2a + c
yT = b2 / 4a - b2 / 2a + c
Hvis det andet led forlænges med 2 og det tredje led forlænges med 4a, får alle tre led fælles nævner og der kan sættes på fælles brøkstreg.
yT = b2 / 4a - 2∙b2 / 2∙2a + 4a∙c / 4a
yT = b2 / 4a - 2∙b2 / 4a + 4a∙c / 4a
yT = (b2 - 2∙b2 + 4a∙c) / 4a
yT = (-b2 + 4a∙c) / 4a
yT = - (b2 - 4a∙c) / 4a
yT = - d / 4a
Hermed er sætning 17.4.3 bevist.
For andengradspolynomiet
p(x) = a∙x2 + b∙x + c
er hældningen af tangenterne gennem nulpunkterne hhv. -√d og √d .
Førstekoordinaten af andengradspolynomiets nulpunkter er parablens rødder. Disse er givet ved formlerne
x1 = (-b - √d) / 2a
og
x2 = (-b + √d) / 2a
Ved at indsætte rødderne i den afledte funktion fås
p'(x1) = 2a∙x1 + b = 2a∙(-b - √d) / 2a + b = (-b - √d) + b = -b - √d + b = - √d
p'(x2) = 2a∙x2 + b = 2a∙(-b + √d) / 2a + b = (-b + √d) + b = -b + √d + b = √d
Hermed er sætning 17.4.4 bevist.