Figur 18.2.1 illustrerer, hvad der menes med definitionen. Hvis der for enhver x0-værdi gælder, at f(x)-værdien nærmer sig f(x0)-værdien, når x går mod x0 , så vil grafen være sammenhængende overalt, og dermed vil funktionen være kontinuert.

Figuren viser kun tilfældet, hvor vi nærmer os x0 fra højre. Det samme skal være tilfældet, når vi nærmer os x0 fra venstre.

Med andre ord er en funktion kontinuert, hvis grænseværdien af f(x) er f(x0) for x gående mod x0 .

De kontinuerte funktioner har den egenskab, at hvis definitionsmængden er sammenhængende, så vil værdimængden også være sammenhængende.

Så hvis funktionsværdien i to x-værdier x1 og x2 for en kontinuert funktion har modsatte fortegn, dvs. at punkterne på grafen ( x1 , f(x1) ) og ( x2 , f(x2) ) ligger på hver sin side af x-aksen, så vil grafen for funktionen have et nulpunkt mellem de to x-værdier. Dvs. at der vil eksistere en x-værdi x3, for hvilken der gælder at f(x3) = 0. Dette er illustreret i figur 18.2.2.

Kender vi alle nulpunkter for en kontinuert funktion, kan funktionen ikke skifte fortegn mellem nulpunkterne. Det er denne egenskab vi udnytter, når vi laver fortegnslinjer for afledte funktioner i forbindelse med bestemmelse af monotoniforhold for funktioner.

Det viser sig nemlig, at hvis en funktion kan differentieres, så er funktionen kontinuert (se sætning 18.5.4). For de sædvanlige funktioner, som der arbejdes med i gymnasiet, vil man også kunne differentiere den afledte funktion. Derfor er den afledte funktion kontinuert, og derfor vil fortegnet for f ' for én x-værdi i et monotoniinterval være lig med fortegnet for f ' i hele monotoniintervallet.