Den grundlæggende andengradsligning er af typen

x² = k

hvor k er et tal.

Afhængig af værdien af k kan den grundlæggende andengradsligning have to, en eller ingen løsninger.

Der er to løsninger hvis k > 0. F.eks.

x² = 25

Her skal vi bestemme det tal x, der ganget med sig selv, giver 25. Vi finder x ved at tage kvadratroden af 25, og så angive resultatet med et positivt og et negativt fortegn.

Løsningen er

x = -5 eller x = 5

fordi (-5)∙(-5) = 25 og 5∙5 = 25.

Der er én løsning hvis k = 0. Dvs.

x² = 0

Her skal vi bestemme det tal x, der ganget med sig selv, giver 0. Løsningen er

x = 0

fordi 0∙0 = 0. Nul er det eneste tal, der er løsning til ligningen x² = 0.

Der er ingen løsninger hvis k < 0. F.eks.

x² = -16

Her skal vi bestemme det tal x, der ganget med sig selv, giver -16. Da det ikke kan lade sig gøre at finde et sådan tal, er der ingen løsning til ligningen.

Den grundlæggende andengradsligning kan f.eks. benyttes til at løse problemstillinger som vist i de følgende to eksempler.

Der skal bygges et hegn rundt om en kvadratisk mark. Marken har et areal på 169 m².
Hvor langt et hegn skal der bruges?

Hegnets længde er lig med markens omkreds. Vi skal derfor bestemme markens sidelængde og gange med 4, da et kvadrat har fire lige lange sider.

Hvis vi kalder kvadratets sidelængde for x (hvor x er målt i meter), kan vi ud fra oplysningen om arealet på den kvadratiske mark opskrive følgende sammenhæng

x² = 169

Kvadratroden af 169 er 13. Derfor er den matematiske løsning til andengradsligningen

x = -13 eller x = 13

Da det ikke giver mening at tale om en negativ sidelængde, konkluderer vi, at markens sidelængde er 13 meter.

Vi skal altså bruge et hegn på 4∙13 meter = 52 meter.

Der skal bygges et hegn rundt om en kvadratisk mark. Marken har et areal på 169 m². Hegnet består af et materiale, hvor sammenhængen mellem prisen x og længden y er givet ved y = 2x - 5. Prisen x er angivet i hundrede kroner og længden y er angivet i meter.
Hvad kommer hegnet til at koste?

Hvis vi kender længden af markens ene side y, så kan vi beregne prisen af hegnets ene side x vha. formlen y = 2x - 5. Den samlede pris for hegnet findes så ved at gange x med 4.

Vi kan bestemme længden af markens ene side ud fra oplysningen om arealet på den kvadratiske mark, idet der gælder at

y² = 169

Vi får opstillet den sammen grundlæggende andengradsligning som i eksempel 1, her hedder variablen bare y i stedet for x.

I stedet for at løse den grundlæggende andengradsligning og derved bestemme y (som i eksempel 1), og derefter bestemme x ud fra sammenhængen mellem y og x, vil vi indsætte udtrykket for y i andengradsligningen. Matematikken bliver herved mere kompliceret, men det giver os senere hen et grundlag for bedre at kunne forstå argumentationen i beviset for løsningsformlen til den generelle andengradsligning. Så da y = 2x - 5 gælder:

(2x - 5)² = 169

Da værdien af parentesen i anden er lig med 169, er værdien af parentesens indhold lig med kvadratroden af 169. Vi kan derfor omskrive ligningen til

(2x - 5) = -13 eller (2x - 5) = 13

Vi løser nu begge førstegradsligninger på samme tid

Først hæves parenteserne og der lægges 5 til på hver side

2x - 5 = -13 eller 2x - 5 = 13

2x - 5 + 5 = -13 + 5 eller 2x - 5 + 5 = 13 + 5

2x = -8 eller 2x = 18

Der divideres med 2 på hver side

2x / 2 = -8 / 2 eller 2x / 2 = 18 / 2

x = -4 eller x = 9

Da det ikke giver mening at tale om en negativ pris, konkluderer vi, at prisen for hegnet på den ene side af marken er 900 kr., idet x angiver prisen i hundrede kroner.

Den samlede pris for hegnet er derfor 4∙900 kr. = 3600 kr.