Vi vil her beskrives årlig rente og debitorrente, som er to forskellige rentebegreber.

Den årlig rente benævnes også renten pro anno eller renten p.a. Hvis en bank tilbyder en indlånskonto med en årlig rente på 10% vil et beløb på 1000 kr. efter et år være vokset til

K₁ = K₀ · (1 + r) = 1000 kr. · (1 + 0,10) = 1000 kr. · 1,10 = 1100 kr.

Debitorrenten benævnes også den effektive rente. Dette rentebegreb skal man operere med, hvis terminslængden er kortere end et år. Hvis en bank tilbyder en indlånskonto med en årlig rente på 10% med 4 årlige rentetilskrivninger, bestemmer man terminsrenten, som den årlige rente divideret med antallet af terminer på et år.

r = 10% / 4 = 2,5%

Hvis der indsættes 1000 kr. på denne konto, vil beløbet efter et år være vokset til

K₄ = K₀ · (1 + r)⁴ = 1000 kr. · (1 + 0,025)⁴ = 1000 kr. · 1,025⁴ = 1104 kr.

Debitorrente vil derfor være

r = (1104 kr. / 1000 kr. ) - 1 = 0,104 = 10,4 %

Debitorrenten er altså reelt større end den årlige rente. Dette fænomen kaldes renters renter.

Kapitalfremskrivningsformlen fra afsnit 5.3 forudsætter at rentefoden er konstant i alle terminer. I praksis vil rentefoden dog variere, så den ikke er den samme fra termin til termin. I dette afsnit beskrives hvordan man forholder sig ved en varierende rentefod.

Hvis startkapitalen er K₀ = 100.000 kr. og rentefødderne i seks år er: r₁ = 10%, r₂ = 12%, r₃ = 5%, r₄ = 0%, r₅ = -2%, r₆ = 5%, bliver man nødt til at opskrive udtrykket for K₆ med alle seks fremskrivningsfaktorer for at beregne slutkapitalen:

K₆ = K₀ · (1 + r₁ ) · (1 + r₂ ) · (1 + r₃ ) · (1 + r₄ ) · (1 + r₅ ) · (1 + r₆ )

K₆ = 100.000 kr. · (1 + 0,10) · (1 + 0,12) · (1 + 0,05) · (1 + 0,00) · (1 - 0,02) · (1 + 0,05)

K₆ = 100.000 kr. · 1,10 · 1,12 · 1,05 · 1,00 · 0,98 · 1,05 = 133.111,44 kr.

I løbet af de 6 år er startkapitalen vokset fra 100.000 kr. til 133.111,44 kr. For at beregne den samlede vækstrate r fra start til slut anvendes sætning 5.1.1, hvor begyndelsesværdien B = K₀ og slutværdien S = K₆.

K₆ = K₀ · (1 + r)

133.111,44 kr. = 100.000 kr. · (1 + r)

Løses ligningen løses med CAS-værktøj fås

r = 0,331

Den samlede procentvise vækst hen over de 6 år bestemmes til

p = r ∙ 100% = 0,331 ∙ 100% = 33,1%.

Da vi kender rentefoden for de enkelte år, kan vi bestemme rentefoden pr. år i gennemsnit. Hermed menes, den faste årlige rentefod der fra start til slut vil give os den samme procentvise vækst, som beregnet ovenfor. Vi kalder den gennemsnitlige rentefod for r_gns.

Anvendes sætning 5.5.1 med startkapitalen K₀ = 100.000 kr., slutkapitalen K₆ = 133.111,44 kr. og antallet af terminer n = 6 år får vi

K₆ = K₀ · (1 + r_gns )⁶

133.111,44 kr. = 100.000 kr. · (1 + r_gns )⁶

Løses ligningen løses med CAS-værktøj fås

r_gns = -2,0488 og r_gns = 0,0488

Der er tilsyneladende to løsninger, men ud fra start- og slutkapitalen kan vi se, at der er sket en positiv vækst. Derfor ser vi bort fra den negative løsning, som svarer til en negativ gennemsnitlig rentefod. Derfor konkluderer vi, at den gennemsnitlige rentefod angivet i procent er

p_gns = r_gns ∙ 100% = 0,049 ∙ 100% = 4,9%.

Man kan bestemme den gennemsnitlige rentefod uden at kende start- og slutkapitalen. Fra øverst i dette afsnit har vi følgende udtryk for slutkapitalen efter 6 år:

K₆ = K₀ · (1 + r₁ ) · (1 + r₂ ) · (1 + r₃ ) · (1 + r₄ ) · (1 + r₅ ) · (1 + r₆ )

Vi har også følgende udtryk for slutkapitalen efter 6 år:

K₆ = K₀ · (1 + r_gns )⁶

Da de to slutkapitaler K₆ er ens, må de to udtryk på højre side af lighedstegnene også være ens. Sættes udtrykkene lig med hinanden, kan vi isolere den gennemsnitlige rentefod:

K₆ = K₆

K₀ · (1 + r_gns )⁶ = K₀ · (1 + r₁ ) · (1 + r₂ ) · (1 + r₃ ) · (1 + r₄ ) · (1 + r₅ ) · (1 + r₆ )

(1 + r_gns )⁶ = (1 + r₁ ) · (1 + r₂ ) · (1 + r₃ ) · (1 + r₄ ) · (1 + r₅ ) · (1 + r₆ )

1 + r_gns = ⁶√((1 + r₁ ) · (1 + r₂ ) · (1 + r₃ ) · (1 + r₄ ) · (1 + r₅ ) · (1 + r₆ ))

r_gns = ⁶√((1 + r₁ ) · (1 + r₂ ) · (1 + r₃ ) · (1 + r₄ ) · (1 + r₅ ) · (1 + r₆ )) - 1

Formel, der beskriver, hvordan den gennemsnitlige rente kan beregnes hen over 6 år, kan generaliseres til at gælde et vilkårligt antal terminer, som vist i sætning 5.4.1.