Embedded Files
Vi skal nu se, hvordan man udleder differentialkvotienter. Dvs. at vi skal opstille forskrifter til beregning af tangenters hældningskoefficient. Vi tager igen udgangspunkt i funktionen
f(x) = x2
hvor vi vil bestemme hældningskoefficienten af tangenten i røringspunktet med x0 = 0,5.
For at bestemme hældningen af den rette linje, som tangenten udgør, skal vi bruge sætning 3.3. Vi skal altså kende to punkter på tangenten og indsætte i formlen
Det ene punkt på tangenten er røringspunktet
P0 = ( x0 ; f(x0) ) = ( 0,5 ; 0,52 ) = ( 0,5 ; 0,25 )
Vi støder nu ind i det problem, at vi ikke kender et andet punkt på tangenten. Vi kunne f.eks. godt vælge, at det andet punkt skal have x-værdien x = 2. Men vi kan ikke beregne punktets y-værdi, fordi vi ikke kender tangentens ligning. Tangentens hældningskoefficient at kan altså ikke beregnes. Dette er illustreret i figur 18.3.1 længere nede på siden.
Men hvis vi nu benytter regneforskriften for f og beregner
f(2) = 22 = 4
så får vi en y-værdi, som forhåbentlig er i nærheden af tangentens y-værdi. Det er illustreret på figur 18.3.2, hvor der også er tegnet en ret linje mellem røringspunktet P0 og punktet Q( 2 , f(2) ). Punktet Q kalder vi for et hjælpepunkt. En sådan ret linje, der skærer grafen i to punkter, kaldes for en sekant.
På figuren ser vi, at der er tydelig forskel på y-værdien i P0 og y-værdien i Q når x = 2. Sekantens hældningskoefficient as er tydeligvis ikke lig med tangentens hældningskoefficient, men det er et første bud på en værdi.
Hvis vi vælger at placere Q tættere på P0 f.eks. i punktet ( 1 , f(1) ) = ( 1 , 12 ) = ( 1 , 1 ), viser figur 18.3.3, at vi får en større overensstemmelse mellem tangentens hældningskoefficient og sekantens hældningskoefficient. Sekanthældningen beregnes nu til
Figur 18.3.1. Hældningen af tangenten i P0 skal beregnes ud fra to punkter på tangenten. Men vi kender kun koordinaterne for røringspunktet.
Figur 18.3.2. Hældningen af sekanten gennem P0 og Q kan beregnes. Men hældningen af sekanten er ikke lig med tangentens hældning.
Figur 18.3.3. Hvis Q flyttes tættere på P0 vil sekantens hældning være tættere på tangentens hældning end på figur 18.3.2.
Hvis Q hele tiden flyttes tættere og tættere på P0, vil sekantens hældningskoefficient nærme sig tangentens hældningskoefficient mere og mere. Figur 18.3.4 viser en tabel over Q's førstekoordinat og hældningskoefficienten af den tilhørende sekant. Hjælpepunktet Q både er blevet placeret til højre for P0 og til venstre for P0.
Sekantens hældning nærmer sig tilsyneladende en værdi på 1, når hjælpepunktet nærmer sig røringspunktet fra både højre og venstre side. Ved hjælp at notationen for grænseværdi kan det skrives som
as → 1 for x → 0,5
Tangentens hældning kan derfor findes som grænseværdien af sekantens hældning.
Figur 18.3.4. Når hjælpepunktets førstekoordinat nærmer sig røringspunktets førstekoordinat, nærmer sekantens hældningen sig 1.
Vi konkluderer, at hældningen af tangenten til grafen for f(x) = x2 i røringspunktet med x0 = 0,5 er at = 1.
Dette stemmer overens med formlen for den afledte funktion f '(x) = 2x hvor vi beregner
f '(x0) = f '(0,5) = 2 · 0,5 = 1
I afsnit 18.4 vises, hvordan man anvender sekanten og dens grænseværdi i det generelle tilfælde, hvor røringspunktet er et vilkårligt punkt på grafen.
Page updated
Report abuse