Embedded Files
En cirkel er defineret ved en mængde af punkter, der alle har den egenskab, at de befinder sig i samme afstand fra et punkt, som vi kalder centrum. Vi bruger symbolet C for centrum. Førstekoordinaten for centrum kaldes a, mens andenkoordinaten for centrum kaldes b. Dvs. C(a,b).
Afstanden, som punktmængden har til centrum, kaldes radius. Vi bruger symbolet r for radius.
Hvis P(x,y) er et vilkårligt punkt på cirklen, kan vi danne en vektor CP, hvis længde vil være lig med radius.
Længden af vektor CP kan beregnes ud fra punkternes koordinater
Ved at sætte de to udtryk for længden af vektor CP lig med hinanden og kvadrere på begge sider af lighedstegnet fås
Vi har nu bevist følgende sætning.
Sætning 16.7.1 - Cirklens ligning
Sætning 16.7.1 - Cirklens ligning
Cirklen med centrum C(a,b) og radius r har ligningen
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Eksempel 1
Eksempel 1
En cirkel har ligningen
(x - 4)2 + (y - 1)2 = 9
Cirklens centrum er C(4,1) og cirklens radius er 3, fordi 32 = 9.
Eksempel 2
Eksempel 2
En cirkel har centrum i (3,-1) og en radius på 6. Ligningen for cirklen findes ved at anvende sætning 16.7.1.
(x - 3)2 + (y - (-1))2 = 62
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 36
Eksempel 3
Eksempel 3
Hvis man skal opskrive en ligning for en cirkel, er det tilstrækkeligt at gøre som i eksempel 2. I dette eksempel vil vi dog udvide ligningen for cirklen i eksempel 2 ved at gange parenteserne ud vha. kvadratsætningerne
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 36
x2 + 32 - 2 ∙ x ∙ 3 + y2 + 12 + 2 ∙ y ∙ 1 = 36
x2 + 9 - 6x + y2 + 1 + 2y = 36
x2 + y2 - 6x + 2y + 9 + 1 = 36
x2 + y2 - 6x + 2y + 10 = 36
x2 + y2 - 6x + 2y + 10 - 36 = 0
x2 + y2 - 6x + 2y - 26 = 0
Formen, som cirklens ligning står på nu, tillader ikke, at man direkte kan aflæse koordinaterne for cirklens centrum og cirklens radius.
Eksempel 4
Eksempel 4
Nogle gange skal man med udgangspunkt i en ligningen for en cirkel, som står på formen vi sluttede med i eksempel 3, bestemme cirklens centrum og radius. Dette eksempel viser, hvordan man regner baglæns, så man kan aflæse centrum og radius.
x2 + y2 - 6x + 2y - 26 = 0
Fra eksempel 3 ved vi, at leddet -6x kommer fra det dobbelte produkt, hvoraf centrums førstekoordinat er den ene af faktorerne. Da der i formlen for cirklens ligning står et minus i parentesen, skal vi dividere -6 med -2 for at få centrums førstekoordinat
a = -6 / -2 = 3
Tilsvarende ved vi at leddet +2y kommer fra det dobbelte produkt, hvoraf centrums andenkoordinat er den ene af faktorerne. Da der i formlen for cirklens ligning står et minus i parentesen, skal vi dividere +2 med -2 for at få centrums andenkoordinat
b = +2 / -2 = -1
Hvis vi nu bare indfører de kvadrerede parenteser med de netop fundne centrumkoordinater på venstre side af lighedstegnet på følgende måde, har vi begået en fejl. Udtrykket er ikke længere lig med 0, fordi vi har glemt at medregne kvadratet på a og b, dvs. kvadratet på de to værdier for cirklens centrum.
x2 - 6x + y2 + 2y - 26 = 0
(x - 3)2 + (y + 1)2 - 26 ≠ 0
Da kvadraterne på de to led i hver parentes altid er positiv, kan vi råde bod på fejlen ved at trække kvadraterne fra igen. Så vil udtrykket igen være lig med nul.
(x - 3)2 - 32 + (y + 1)2 - 12 - 26 = 0
For at aflæse radius trækkes alle de konstante led over på højre side af lighedstegnet, og der reduceres
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 26 + 32 + 12
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 26 + 9 + 1
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 36
Radius kan nu aflæses som kvadratet af tallet på højre side af lighedstegnet
r = √ (36) = 6
Følgende metode kan altid bruges
Divider de blandede produkter med -2. Herved fås a og b.
Indfør de kvadrerede parenteser og træk a2 og b2 fra på venstre side af lighedstegnet.
Flyt de konstante led over på højre side af lighedstegnet, reducer og beregn kvadratroden. Herved fås r.
Page updated
Report abuse