Embedded Files
Annuitetsformlen
Annuitetsformlen
Annuitetsopsparing er en form for opsparing, hvor man hver termin indsætter det samme beløb på en indlånskonto. Det er vigtigt at huske, at man ved denne opsparingsform ikke får tilskrevet renter i første termin. Den første indbetaling skal først stå på kontoen i en termin, før den giver renter i starten af anden termin. Figur 5.5.1 illustrerer situationen.
Figur 5.5.1. Ved annuitetsopsparing tilskrives første rente r1 i starten af 2. termin, hvorefter anden indbetaling b2 foretages.
Sætning 5.5.1 - Annuitetsopsparing
Sætning 5.5.1 - Annuitetsopsparing
Man anvender annuitetsformlen til at beregne det samlede beløb Kn efter n indbetalinger (bemærk: n er ikke terminer), hvor den faste rentefod er r og det faste indbetalte beløb pr. termin er b
Kn = b · ( (1 + r)n - 1) / r
Beviset for sætning 5.5.1 vises efter følgende to eksempler.
Eksempel 5.5.1
Hvis man hver måned indsætter 500 kr. på en indlånskonto med en halvårlig rentetilskrivning på 1,5% p.a., findes først terminsrenten
r = 1,5% / 2 = 0,75% = 0,0075
Det indsatte beløb hvert termin er 500 kr. pr. måned i 6 måneder
b = 6 mdr. · 500 kr./mdr. = 3.000 kr.
Efter 4 år, dvs. efter 8 indbetalinger af 3.000 kr., har man følgende beløb på kontoen
K8 = 3.000 kr. · ((1 + 0,0075)8 - 1) / 0,0075 = 24.639,54 kr.
De samlede renter, som man hen over de 4 år har fået, beregnes som forskellen mellem det opsparede beløb og det indsatte beløb
24.639,54 kr. - 8 · 3.000 kr. = 639,54 kr.
Eksempel 5.5.2
Hvis der opstår en situation, hvor banken efter en årrække ændrer den faste rente, er man nødt til anvende annuitetsformlen forfra med den nye rentefod. Det allerede opsparede beløb kan betragtes som stående urørt på kontoen og trække renter.
Hvis vi fortsætter eksempel 5.5.1, så er der efter 4 års opsparing en kapital på 24.639,54 kr. Man indbetaler stadig 3.000 kr. pr termin, men banken hæver terminsrente til 1,0%.
Efter yderligere 4 år har de sidste 4 års indbetalinger udviklet sig til en kapital på
K8,2 = 3.000 kr. · ((1 + 0,010)8 - 1) / 0,010 = 24.857,10 kr.
Kapitalen kaldes K8,2 for ikke at blande den sammen med kapitalen fra de første 4 år.
Desuden har beløbet fra de første 4 år stået på kontoen i løbet af de sidste 4 år og udviklet sig i forhold til den nye terminsrente. Den udvikling kan beskrives med kapitalfremskrivningsformlen
K8,1 = K8 · (1 + r)8 = 24.639,54 kr. · (1 + 0,010)8 = 26.681,09 kr.
Det samlede beløb på kontoen er
K8,1 + K8,2 = 26.681,09 kr. + 24.857,10 kr. = 51.538,10 kr.
Bevis for sætning 5.5.1
Bevis for sætning 5.5.1
I dette bevis betragtes beløbet på kontoen umiddelbart efter hver indbetaling, og altså før rentetilskrivningen.
Efter første indbetaling er beløbet på kontoen
K1 = b
Efter anden indbetaling er beløbet på kontoen
K2 = K1 · (1 + r) + b = b · (1 + r) + b
fordi der er blevet tilskrevet renter til beløbet fra den første indbetaling.
Efter tredje indbetaling er beløbet på kontoen
K3 = K2 · (1 + r) + b = (b · (1 + r) + b) · (1 + r) + b
fordi der er blevet tilskrevet renter til beløbet, som stod på kontoen efter den anden indbetaling.
Ved at gange (1 + r) ind i parentesen (b · (1 + r) + b) og reducere fås
K3 = b · (1 + r) · (1 + r) + b · (1 + r) + b
K3 = b · (1 + r)2 + b · (1 + r) + b
Man kan fortsætte ovenstående fremgangsmåde for de efterfølgende indbetalinger. Hver gang ender man med, at beløbet kan udtrykkes ved et antal led, der svarer til antallet af indbetalinger. I hvert led står faktoren b samt fremskrivningsfaktoren (1 + r). Den største eksponent, som fremskrivningsfaktoren opløftes i, er én mindre end antallet af indbetalinger.
Det sidste udtryk for K3 kan derfor generaliseret til beløbet efter n'te indbetaling på kontoen
Kn = b · (1 + r)n-1 + b · (1 + r)n-2 + ∙∙∙ + b · (1 + r)2 + b · (1 + r) + b
I udtrykket for Kn er vi interesseret i at få de mange led væk, det gør vi ved først at gange igennem med (1 + r) på hver side
Kn · (1 + r) = ( b · (1 + r)n-1 + b · (1 + r)n-2 + ∙∙∙ + b · (1 + r)2 + b · (1 + r) + b ) · (1 + r)
Der ganges ind i parentesen på højre side og reduceres
Kn · (1 + r) = b · (1 + r)n-1 · (1 + r) + b · (1 + r)n-2 · (1 + r) + ∙∙∙ + b · (1 + r)2 · (1 + r) + b · (1 + r) · (1 + r) + b · (1 + r)
Kn · (1 + r) = b · (1 + r)n + b · (1 + r)n-1 + ∙∙∙ + b · (1 + r)3 + b · (1 + r)2 + b · (1 + r)
Fra dette udtryk Kn · (1 + r) trækkes udtrykkes for Kn, idet det får en masse led til at forsvinde
Kn · (1 + r) - Kn = ( b · (1 + r)n + b · (1 + r)n-1 + ∙∙∙ + b · (1 + r)3 + b · (1 + r)2 + b · (1 + r) )
- ( b · (1 + r)n-1 + b · (1 + r)n-2 + ∙∙∙ + b · (1 + r)2 + b · (1 + r) + b )
Parenteserne hæves og der reduceres
Kn · (1 + r) - Kn = b · (1 + r)n + b · (1 + r)n-1 + ∙∙∙ + b · (1 + r)3 + b · (1 + r)2 + b · (1 + r)
- b · (1 + r)n-1 - b · (1 + r)n-2 - ∙∙∙ - b · (1 + r)2 - b · (1 + r) - b
Kn · (1 + r) - Kn = b · (1 + r)n - b
Kn ganges ind i parentesen på venstre side og mens den fælles faktor b på højre side sættes udenfor en parentes
Kn · 1 + Kn · r - Kn = b · ( (1 + r)n - 1 )
De to Kn reduceres væk, og det sidste Kn isoleres
Kn · r = b · ( (1 + r)n - 1 )
Kn = b · ( (1 + r)n - 1 ) / r
Hermed er sætningen bevist.
Page updated
Report abuse