Embedded Files
Af og til kan man se en graf over en eksponentiel vækst, der er indtegnet i en særligt type koordinatsystem – et såkaldt enkeltlogaritmisk koordinatsystem. I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er inddelingen på y-aksen speciel, mens inddelingen på x-aksen er helt almindelig. Denne specielle inddeling på y-aksen kaldes for en logaritmisk akse. I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem bliver grafer over eksponentiel vækst til rette linjer, og alle andre typer bliver krumme kurver. Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er vist på figur 10.3.1.
Andre gange kan man se en graf over en potensvækst, der er indtegnet i et såkaldt dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. I et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem er både x- og y-aksen en logaritmisk akse. I et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem bliver grafer over potensvækst til rette linjer, og alle andre typer bliver krumme kurver. Et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem er vist på figur 10.3.2.
Figur 10.3.1. Enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
Figur 10.3.2. Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.
Logaritmisk akse
Logaritmisk akse
En logaritmisk akse omformer en normal talakse således, at hver gang et vilkårlig tal på den logaritmiske akse fordobler sin værdi, så flytter man sig sammen afstand på aksen, ligegyldigt hvilket tal der er tale om. F.eks. er der lige langt fra 1 til 2 på en logaritmisk akse som fra 10 til 20 eller fra 200 til 400.
Det samme gælder også, hvis det vilkårlige tal ganges med et andet tal end 2. Man flytter sig dog en anden afstand langs aksen end ved fordoblingen. Hvis man f.eks. ganger med 10, så vil man flytte sig samme afstand på den logaritmiske akse ligegyldigt om udgangspunktet er 1, 10 eller 100. Dvs. at afstanden fra 1 til 10, og afstanden fra 10 til 100, og afstanden fra 100 til 1000 er lige lange på en logaritmisk akse.
Intet nulpunkt og ingen negative tal
På en logaritmisk akse er der intet nulpunkt, og man kan heller ikke angive negative tal på den.
Det kan man argumentere for, ved at betragte den afstand der er mellem tallene 1 og 10, 10 og 100 samt 100 og 1000. For hver gang man bevæger sig den faste afstand opad aksen, ganges tallet altså med 10. Dette system fortsætter uendeligt langt opad aksen.
Omvendt kan man starte ved 1000 og bevæge sig den faste afstand nedad til 100, og derfra den samme afstand ned til 10, og derfra igen den samme afstand ned til 1. For hver gang man bevæger sig den faste afstand nedad den logaritmiske akse divideres tallet med 10. Dette system fortsætter også uendeligt langt nedad aksen.
Dvs. at hvis vi fra tallet 1 endnu en gang bevæger som den faste afstand nedad, så vil vi ende på 0,1 fordi 1/10 = 0,1. Bevæger vi os igen den faste afstand nedad bliver tallet 0,01, efter endnu en gang bliver tallet 0,001 osv. Ligegyldigt hvor langt vi bevæger os nedad den logaritmiske akse kommer vi altså aldrig til tallet nul, fordi vi hele tiden skal dividere med 10.
Konstruktion af en logaritmisk akse
Konstruktion af en logaritmisk akse
Når man konstruerer en logaritmiske akse, tager man udgangspunkt i den almindelige talakse, hvor afstanden mellem hver heltal er konstant. På figur 10.3.3 ses til venstre en talakse, hvor afstanden mellem 1 og 2 er den samme som afstanden mellem 2 og 3. Dette er altså en almindelig talakse.
Opløfter man 10 i tallene på den almindelige akse, og noterer disse resultater på talaksen i stedet for tallene fra den almindelige akse, får man en logaritmisk akse. Dette er vist på højre side af den venstre talakse i figur 10.3.3.
De fleste af de beregnede tal på den logaritmiske akse bliver dog ikke særlig pæne, hvis man benytter inddelingen fra den almindelige akse. Derfor vælger man at inddele den logaritmiske akse vha. pæne runde tal, som det ses på logaritmiske aksen til højre i figur 10.3.3.
Man skal forstå den logaritmiske akse på følgende måde: Hvis man har en y-værdi på 1000, så afsætter man ikke punktet ved y = 1000, men der på sin almindelige akse hvor y = log(1000) = 3. Hvis man har en y-værdi på 100, så afsætter man ikke punktet ved y = 100, men der på sin almindelige akse hvor y = log(100) = 2. Herved får man ændret sin almindelige akse til en logaritmisk akse.
Hvis man har en række data, som opfylder en eksponentiel sammenhæng
y = b ∙ ax
Så sker der følgende, hvis man beregner logaritmen til y-værdierne
log( y ) = log( b ∙ ax ) = log( b ) + log( ax ) = log( b ) + x · log( a )
Logaritmen til y-værdierne (som man har afsat på sin 2.-akse) opfylder derfor sammenhængen
log( y ) = log( a ) ∙ x + log( b )
hvilket jo er formlen for en ret linje i et koordinatsystem med x på 1.aksen, hvor hældningen er log( a ) og skæringen med 2.-aksen er log( b ).
Figur 10.3.3. Konstruktion af logaritmisk talakse ud fra en almindelig talakse.
Logaritmisk akse i værktøjsprogram
Logaritmisk akse i værktøjsprogram
Hvis man skal indsætte et datasæt i et enkeltlogaritmisk eller dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, er det lettest at anvende Graph, men Excel kan også bruges. GeoGebra har ikke denne akse-funktionalitet.
Her vises hvordan der laves en eksponentiel regression i hhv. Excel og i Graph, hvorefter data præsenteres i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Ved et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem gentages nedenstående med x-aksen.
Hvis vi har den eksponentielle sammenhæng
y = 4 ∙ 1,30 x
kan vi udfylde en tabel som vist på figur 10.3.4.
Figur 10.3.4. Sammenhørende værdier i en eksponentiel sammenhæng.
Excel
Tabellens data indsættes i to kolonner i et Excelark. De to kolonner markeres og der indsættes et punktdiagram. Herefter laves en eksponentiel regression ved at indsætte en eksponentiel tendenslinje. Det ses tydeligt af figur 10.3.5, at tabellens data ikke giver anledning til punkter, som ligger på en ret linje.
Vælger man at vise ligningen for den eksponentielle regression, får man
y = 4,0136 ∙ e 0,2622x
Da e 0,2622 = 1,2998 kan regressionsligningen omskrives til
y = 4,0136 ∙ 1,2998 x
Pga. afrundinger af tallene i tabellen ender vi ikke helt med den sammenhæng, som vi startede med.
Figur 10.3.5. Tabellens data vist som et punktdiagram i Excel, hvor der også er lavet en eksponentiel regression. Bemærk den faste afstand på y-aksen for hver 50 enheder.
For at få omdannet y-aksen til en logaritmisk akse, dobbeltklikkes på tallene langs y-aksen. I det åbnede vindue under akseindstillinger sættes et flueben ud for "Logaritmisk skala".
Som det ses på figur 10.3.6, kommer punkterne nu til at ligge på en ret linje. Desuden ses en fast afstand på y-aksen, for hver gang y-værdien bliver ganget med 10.
Regressionsligningen ændrer sig ikke, da det jo stadig er den samme eksponentielle sammenhæng, der er mellem x- og y-værdierne.
Figur 10.3.6. Tabellens data vist som et punktdiagram i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem i Excel, hvor der også er lavet en eksponentiel regression. Bemærk den rette linje og den faste afstand på y-aksen for hver gang der ganges med 10.
Graph
Tabellens data indsættes som en punktserie ved at klikke på ikonet markeret i figur 10.3.7.
Den eksponentielle regression laves ved at klikke på ikonet markeret på figur 10.3.8.
Til sidst vælges den logaritmiske y-akse ved at højreklikke på akse-ikonet til venstre som vist på figur 10.3.10.
På figur 10.3.11 ses hvordan den eksponentielle sammenhæng rettes ud til en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
Figur 10.3.7. Indtastning af data i Graph.
Figur 10.3.8. Punktserien i Graph, som der skal laves eksponentiel regression på.
Figur 10.3.9. Den eksponentielle regression.
Figur 10.3.10. Den logaritmiske y-akse vælges.
Figur 10.3.11. Den eksponentielle regression i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem i Graph.
Page updated
Report abuse