Embedded Files
10-tals-logaritmen, log(x)
10-tals-logaritmen, log(x)
For at forstå 10-tals-logaritmen starter vi med at opskrive følgende sammenhæng mellem x og y
y = 10x
Tabellen i figur 10.1.1. viser udvalgte x-værdier med tilhørende beregnede y-værdier.
Grafen for sammenhængen ses i figur 10.1.1. Vores ønske er at finde den omvendte funktion til denne sammenhæng.
Figur 10.1.1. Tabel over beregnede y-værdier for nogle udvalgte x-værdier.
Figur 10.1.1. Grafen for funktionen f(x) = 10x .
I tabellen er de forskellige y-værdier beregnet, når vi kender x-værdien. Hvis vi omvendt kender y-værdien, kan vi forsøge at finde den x-værdi, som passer i udtrykket
y = 10x
Denne x-værdi kaldes for 10-tals-logaritmen til y eller ofte bare logaritmen til y. Den skrives log(y).
For at finde x-værdien skal vi altså gøre det omvendte af at sætte i 10. potens. Hertil kan vi bruge den interaktive GeoGebra-fil, som der linkes til i figur 10.1.3.
Logaritmen til et tal findes ved at starte med tallet på y-aksen. Herefter bevæger man sig vandret ud til grafen for 10x og derfra ned til x-aksen. Det aflæste tal på x-aksen er så den ønskede logaritme.
Bemærk at man ikke kan bestemme logaritmen når y ≤ 0.
Figur 10.1.3. Klik på figuren for at forstå 10-tals-logaritmen med den interaktive GeoGebra-fil.
Definition - 10-tals-logartimen
Definition - 10-tals-logartimen
For en positiv y-værdi, defineres 10-tals-logaritmen til y, som det tal x, der opfylder at
log(y) = x hvis der gælder at y = 10x
Specielt gælder der følgende to udtryk
(1) log(10x) = x
og
(2) 10log(y) = y
Af de to sidste udtryk i definitionen ses, at "10-tals-logaritmen" og "at opløfte 10 i noget" ophæver hinanden.
Eksempel 1
Logaritmen til 100 er 2. Det kan vi forstå ved at først at omskrive 100 = 102. Herefter tages logaritmen på begge sider af lighedstegnet
log(100) = log(102)
Ved hjælp af udtryk (1) i definitionen kan højre side af lighedstegnet omskrives til
log(100) = 2
Heraf ses, at logaritmen til 100 er 2.
Eksempel 2
Af tabellen i figur 10.1.2 fremgår at 10-1,5 = 0,0316. Vi tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet
log(10-1,5) = log(0,0316)
Ved hjælp af udtryk (1) i definitionen kan venstre side af lighedstegnet omskrives til
-1,5 = log(0,0316)
Dvs. at
log(0,0316) = –1,5
Eksempel 3
Ligningen
log(y) = 2,4
har i følge definitionen løsningen
y = 102,4
Denne potens udregnes med computer til
y = 251,19
Bemærk at vi oftest skriver ligningen med et x i stedet for et y.
Løsningen til ligningen log(x) = 2,4 er altså x = 102,4 = 251,19.
Eksempel 4
For at løse ligningen
log(4x - 0,7) = -1
bruger vi udtryk (2) i definitionen ved først at sætte i tiende potens på hver side af lighedstegnet
10 log(4x - 0,7) = 10 -1
Venstre side i ligningen reduceres nu til
4x - 0,7 = 10 -1
Højre side omskrives vha. vores potensregneregler
4x - 0,7 = 0,1
Herefter løses ligningen på sædvanlig vis
4x - 0,7 + 0,7 = 0,1 + 0,7
4x = 0,8
4x / 4 = 0,8 / 4
x = 0,2
Eksempel 5
For at løse ligningen
10 2x - 3 = 50
bruger vi udtryk (1) i definitionen ved først at tage 10-tals-logaritmen på hver side af lighedstegnet
log(10 2x - 3) = log(50)
Venstre side i ligningen reduceres nu til
2x - 3 = log(50)
Herefter løses ligningen på sædvanlig vis
2x - 3 + 3 = log(50) + 3
2x = log(50) + 3
2x / 2 = (log(50) + 3) / 2
x = (log(50) + 3) / 2
Højre side i ligningen beregnes med computer, da vi ikke kan beregne log(50) i hovedet
x = 2,35
Eksempel 6
Hvis vi vender tabellen i figur 10.1.2 på hovedet - altså bytter x- og y-værdierne rundt - får vi nedenstående tabel. Ved at indsætte tabellens tal i et koordinatsystem fås grafen over 10-tals-logaritmen, som er vist i figur 10.1.4b. Bemærk at det store x-interval fra 0,01 til 1000 gør det vanskeligt at se punkternes nøjagtige placering. Dette problem tages der hånd om i afsnit 10.3, der handler om det logaritmiske koordinatsystem.
Figur 10.1.4a. Tabel over udvalgte værdier i 10-tals-logaritmen.
Figur 10.1.4b. Graf over log(x).
Læg især mærke til følgende logaritmeværdier:
log(1000) = log(103) = 3
log(100) = log(102) = 2
log(10) = log(101) = 1
log(1) = log(100) = 0
log(0,1) = log(10-1) = -1
log(0,01) = log(10-2) = -2
Titalslogaritmen i værktøjsprogram
Titalslogaritmen i værktøjsprogram
WordMat
For at anvende 10-tals-logaritmen i WordMat skriver man kommandoen "log" efterfulgt af et tryk på mellemrumstasten.
I feltet bag "log" kan man skrive en parentes eller lade være. Parentesen kan være med til at tydeliggøre, hvad det er, der tages logaritmen af.
Det er også muligt at skrive 10 med sænket skrift efter "log". Det er vigtigt, hvis man arbejder med flere forskellige logaritmefunktioner.
Figur 10.1.5 viser de forskellige indtastningsmåder.
Figur 10.1.5. Beregning af log(100) med WordMat.
GeoGebra
For at anvende 10-tals-logaritmen i GeoGebra skriver man kommandoen "log10( )" i CAS-værktøjet.
I visse udgaver af GeoGebra kan man nøjes med at skrive "log( )".
Figur 10.1.6 viser de forskellige indtastningsmåder.
Figur 10.1.6. Beregning af log(100) med WordMat.
Page updated
Report abuse