Embedded Files
Eksempel 18 - Kast med symmetrisk terning
Amalie og Bertram indgår følgende væddemål: Hvis et terningekast viser et ulige antal øjne vinder Amalie 1 kr. fra Bertram. Hvis terningekastet viser et lige antal øjne vinder Bertram 1 kr. fra Amalie.
Både Amalie og Bertram betaler et indskud til væddemålet på 1 kr. hver.
Vinderens præmie er lig med det samlede indskud: 1 kr. + 1 kr. = 2 kr.
Vinderens gevinst er lig med præmien minus indskud: 2 kr. - 1 kr. = 1 kr.
Med begrebet odds forstår man, det antal gange man får sit indskud igen i præmie, hvis man vinder væddemålet. I dette tilfælde er odds 2, fordi præmien er på 2 kr. og indskuddet er på 1 kr.
Man kan beregne odds med formlen
Odds = Præmie / Indskud
For at regne på væddemålet opstiller vi den stokastiske variabel, der angiver præmiens værdi set fra Amalies synspunkt. Variablen kaldes VA for "Værdi Amalie".
Vi opstiller også den stokastiske variabel, der angiver gevinsten set fra Amalies synspunkt. Variablen kaldes GA for "Gevinst Amalie".
Tabellen i figur 9.8.1 viser værdierne for de stokastiske variable for de to mulige udfald.
Figur 9.8.1. Præmie og gevinst fra Amalies synspunkt.
Middelværdien af Amalies gevinst, altså den gevinst Amalie forventer, beregnes med formlen i figur 9.7.4.
E(GA ) = P(Ulige) ∙ GA(Ulige) + P(Lige) ∙ GA(Lige) = 0,5 ∙ 1 + 0,5 ∙ (-1) = 0,5 - 0,5 = 0
Når middelværdien af et væddemål er lig med nul, kalder man væddemålet for et fair væddemål.
Laves der en tabel over væddemålet set fra Bertrams side, vil man kunne se at middelværdien af Bertrams gevinst beregnes til
E(GB ) = P(Lige) ∙ GB(Lige) + P(Ulige) ∙ GB(Ulige) = 0,5 ∙ 1 + 0,5 ∙ (-1) = 0,5 - 0,5 = 0
Da middelværdien er nul, er væddemålet også fair for Bertram.
Fair væddemål
Fair væddemål
Eksempel 17 kan generaliseres med tabellen i figur 9.8.2, hvor V er den stokastiske variabel der angiver præmiens værdi, og G er den stokastiske variabel der angiver gevinsten pr. spillet krone.
Hvis vinderpræmien angives med v kr., er gevinsten pr spillet krone (v - 1), fordi indskuddet på 1 kr. skal trækkes fra.
Figur 9.8.2. Præmie og gevinst i et væddemål.
Middelværdien for det fair væddemål beregnes til
E(G) = p∙(v - 1) + (1 - p)∙(-1)
E(G) = p∙v - p∙1 + 1∙(- 1) - p∙(- 1)
E(G) = p∙v - p - 1 + p
E(G) = p∙v - 1
Hvis væddemålet er fair, er middelværdien E(G) = 0. Indsættes udtrykket for middelværdien fås
p∙v - 1 = 0
p∙v = 1
v = 1 / p
Af udtrykket v = 1 / p ses, at præmiens værdi er lille hvis sandsynligheden for udfaldet er stor, og omvendt at præmiens værdi er stor hvis sandsynligheden for udfaldet er lille. Det giver god mening i et fair væddemål.
I et fair væddemål gælder der generelt, at odds kan beregnes som
Odds = 1 / p
Bruges formlen på eksempel 17 hvor p = 0,5 fås
Odds = 1 / 0,5 = 2
Eksempel 19 - Kast med asymmetrisk terning
Hvis Amalie og Bertram fra eksempel 17 ikke kaster med en symmetrisk terning, men i stedet for kaster en terning, hvor sandsynligheden for at få et ulige antal øjne f.eks. er 0,6, kan man opstille tabellen i figur 9.8.3
Figur 9.8.3. Præmie og gevinst fra Amalies synspunkt.
Middelværdien af Amalies gevinst beregnes til
E(GA ) = P(Ulige) ∙ GA(Ulige) + P(Lige) ∙ GA(Lige) = 0,6 ∙ 1 + 0,4 ∙ (-1) = 0,6 - 0,4 = 0,2
Middelværdien af Bertrams gevinst beregnes til
E(GB ) = P(Lige) ∙ GB(Lige) + P(Ulige) ∙ GB(Ulige) = 0,4 ∙ 1 + 0,6 ∙ (-1) = 0,4 - 0,6 = -0,2
Da middelværdien på gevinsten ikke er nul, er spillet unfair. Det giver god mening, da Amalie har en større sandsynlighed for at vinde præmien, til trods for at hendes indskud er lige så stort som Bertrams.
Bookmaker
Bookmaker
Hvis et væddemål skal varetages af en uvildig mellemmand, en såkaldt bookmaker, skal spillerne typisk betale en provision til bookmakeren. Hvis bookmakeren beregner sig 5% af det samlede indskud, beregnes oddsene ikke som
Odds = Præmie / Indskud
men i stedet for som
Odds = ( Præmie - Provision ) / Indskud
Man kan også bruge sandsynligheden for at vinde til at beregne odds i forbindelse med en bookmaker
Odds = ( 1 - bookmakerens andel ) / P(vinde)
Hvis en bookmakers provision er 5%, siger man at tilbagebetalingsprocenten er 95%. Dette beregnes som
Tilbagebetalingsprocent = 1 - bookmakerens andel
Man kan altså også beregne odds vha. formlen
Odds = Tilbagebetalingsprocent / P(vinde)
Eksempel 20
I Amalie og Bertrams væddemål fra eksempel 17 hæves indskuddet nu fra 1 kr. til 20 kr. Hvis en bookmaker skal stå for væddemålet mellem Amalie og Bertram, og bookmakerens provision er 5% af det samlede indskud, kan vi beregne hvor stor en del af præmien bookmakeren beholder.
Provision = 5% af det samlede indskud = 5% af 40 kr. = 0,05 ∙ 40 kr. = 2 kr.
Amalies odds vil nu være
Odds = ( Præmie - Provision ) / Indskud = ( 40 kr. - 2 kr. ) / 20 kr. = 1,9
Beregnes Amalies odds vha. sandsynligheden for at vinde, ser udregningen ud som
Odds = ( 1 - bookmakerens andel ) / P(vinde) = ( 1 - 0,05 ) / 0,5 = 0,95 / 0,5 = 1,9
Hvis Amalie vinder væddemålet, er hendes præmie altså
Præmie = Indskud ∙ Odds = 20 kr. ∙ 1,9 = 38 kr.
Page updated
Report abuse