Embedded Files
Hvis man skal bestemme en funktions monotoniforhold, betyder det, at man skal lave en oversigt over de intervaller, hvor funktionen enten er voksende eller aftagende. Sådanne intervaller kaldes for monotoni-intervaller. Ordet monoton betyder ensformig. En funktion kaldes monoton, hvis den enten er voksende overalt eller aftagende overalt. Det kan f.eks. være en lineær funktion eller en eksponentiel funktion.
Når vi betragter kontinuerte og glatte funktioner, vil monotoni-intervallerne altid være adskilt af x-værdier, som er løsning til ligningen f ’(x) = 0. Det er dog ikke sikkert, at funktionen altid skifter fra voksende til aftagende eller omvendt, når man bevæger sig hen over en x-værdi, der er løsning til f ’(x) = 0.
Følgende eksempler viser hvordan man bestemmer monotoniforhold.
Eksempel 17.1.1
Eksempel 17.1.1
Monotoniforholdene for funktionen
f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 5
bestemmes ved først at løse ligningen f ’(x0) = 0 for at finde de x-værdier, x0, hvor grafen for f har vandrette tangenter. Den afledte funktion er
f ’(x) = 3x2 + 3∙2x - 9 = 3x2 + 6x - 9.
Ligningen f ’(x0) = 0 løses som en andengradsligning
3x02 + 6x0 - 9 = 0
x02 + 2x0 - 3 = 0
hvor a = 1, b = 2, c = -3.
Diskriminanten er
d = b2 - 4ac = 22 - 4∙1∙(-3) = 4 + 12 = 16
Løsningen er
x0 = (-b ± √d) / (2a) = (-2 ± √16) / (2∙1) = (-2 ± 4) / 2
x0 = -3 ꓦ x0 = 2
Da definitionsmængden for f er alle de reelle tal, Dm(f) ϵ R, kan vi tegne en talakse fra -∞ og ∞, hvorpå de fundne x0-værdierne afsættes.
Under talaksen skal fortegnet for den afledte funktion afsættes. Under de to x0-værdier er f ’(x) = 0, så det skriver vi først.
I hver af de tre monotoni-intervaller ved vi, at fortegnet for f ’(x) er konstant. Derfor kan vi nøjes med at bestemme fortegnet for en x-værdi i hvert monotoni-interval. For at bestemme fortegnet i det første monotoni-interval udvælges en vilkårlig x-værdi herfra. Vi vælger x = -10, da det er let at regne med.
Vi udregner f ’(-10) = 3∙(-10)2 + 6∙(-10) - 9 = 3∙100 - 60 - 9 = 300 - 69 = 231
Da vi får et positivt tal, er fortegnet for den afledte funktion positivt i dette monotoni-interval og vi skriver et ”plus” under talaksen.
For det andet monotoni-interval vælges x = 0 og vi udregner f ’(0) = 3∙02 + 6∙0 - 9 = -9. Det negative tal fortæller, at fortegnet for den afledte funktion er negativt i dette monotoni-interval, og vi skriver et ”minus” under talaksen.
For det tredje monotoni-interval vælges x = 10 og vi udregner f ’(10) = 3∙102 + 6∙10 - 9 = 300 + 60 - 9 = 351. Det positive tal fortæller, at fortegnet for den afledte funktion er positivt i dette monotoni-interval, og vi skriver et ”plus” under talaksen.
Vi laver nu en anden række under tallinjen hvor væksten af funktionen indikeres med pile. I de monotoni-intervaller, hvor fortegnet for den afledte funktion er positivt, tegnes en pil, der går opad mod højre. I monotoni-intervallerne, hvor fortegnet for den afledte funktion er negativt, tegnes en pil, der går nedad mod højre.
Vi har nu fået lavet en fortegnslinje eller en monotonilinje. Ud fra vores tegning af fortegnslinjen kan vi nu konkludere følgende om monotoniforholdene for funktionen f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 5
Konklusion
I intervallerne ] -∞ ; -3 ] og [ 2 ; ∞ [ er funktionen voksende
I intervallet [ -3 ; 2 ] er funktionen aftagende.
Bemærk hvordan interval-klammerne vender. Klammerne vender altid væk fra både det negative og det positive uendelighedstegn. Klammerne vender altid ind mod de øvrige interval-endepunkter. Det er fordi grafen bliver ved med at vokse, indtil man f.eks. kommer hen til x = -3. Men fortsætter man fra x = -3, begynder grafen at aftage med det samme. Derfor er -3 med i begge monotoni-intervaller.
Figur 17.1.1. Grafen for funktionen.
Når det handler om monotoni-intervaller, er interval-endepunkterne med i begge to intervaller. Når det handler om definitionsmængde ved en gaffelforskrift, er interval-endepunkterne kun med i det ene interval.
Eksempel 17.1.2
Eksempel 17.1.2
Monotoniforholdene for funktionen f(x) = 2x3 - 10 bestemmes ved først at løse ligningen f ’(x0) = 0 for at finde de x-værdier x0, hvor grafen for f har vandrette tangenter.
Den afledte funktion er f ’(x) = 2∙3x2 = 6x2.
Ligningen f ’(x0) = 0 løses ved først at isolere x02
6x02 = 0
x02 = 0/6
x02 = 0
x0 = 0
Der laves en fortegnslinje, som opdeles i to monotoniintervaller af x = 0.
For det første monotoni-interval vælges x = -1 og vi udregner f ’(-1) = 6∙(-1)2 = 6. Det positive tal fortæller, at fortegnet for den afledte funktion er positivt i dette monotoni-interval, og vi skriver et ”plus” under talaksen.
For det andet monotoni-interval vælges x = 1 og vi udregner f ’(1) = 6∙(1)2 = 6. Som ovenfor skrives et ”plus” under talaksen.
I begge monotoni-intervaller tegnes en pil, der går opad mod højre. Vi konkluderer følgende om monotoniforholdene for funktionen f(x) = 2x3 - 10
Konklusion
I intervallerne ] -∞ ; 0 ] og [ 0 ; ∞ [ er funktionen voksende,
dvs. at funktionen er voksende i intervallet ] -∞ ; ∞ [ .
Da f er voksende i hele definitionsmængden, er f(x) = 2x3 - 10 en monoton voksende funktion.
Vi har her set et eksempel på en funktion, hvor grafen ikke ændres fra voksende til aftagende eller omvendt hen over en x-værdi, der er løsning til f ’(x) = 0. Den vandrette tangent kaldes i tilfælde som dette for en vandret vendetangent.
Figur 17.1.2. Grafen for funktionen.
Bemærk at en vendetangent ikke har noget at gøre med, at grafen vender retning fra voksende til aftagende eller omvendt. En vendetangent fremkommer, når krumningen af grafen ændrer sig. Hvis man forestiller sig, at grafen er en vej set oppe fra, og man betragter vejen fra venstre mod højre, så vil vejen før røringspunktet i dette tilfælde krumme mod højre, mens den efter røringspunktet krummer mod venstre.
En vendetangent behøver ikke være vandret. I eksempel 1 er der f.eks. en skrå vendetangent i x0 = -1.
Eksempel 17.1.3
Eksempel 17.1.3
Monotoniforholdene for funktionen f(x) = -4x3 - 12x bestemmes ved først at løse ligningen f ’(x0) = 0 for at finde de x-værdier x0, hvor grafen for f har vandrette tangenter.
Den afledte funktion er f ’(x) = -4∙3x2 - 12 = -12x2 - 12.
Ligningen f ’(x0) = 0 løses ved først at isolere x02
-12x02 - 12 = 0
-12x02 = 12
x02 = 12/(-12)
x02 = -1
Vi bemærker at denne ligning har ingen løsning. Der laves en fortegnslinje, som nu kun består af et monotoni-interval.
Vi vælger x = 0 og vi udregner f’(0) = -12∙(0)2 - 12 = -12. Det negative tal fortæller, at fortegnet for den afledte funktion er negativt i monotoni-intervallet, og vi skriver et ”minus” under talaksen. I monotoni-intervallet tegnes en pil, der går nedad mod højre.
Vi konkluderer følgende om monotoniforholdene for funktionen f(x) = -4x3 - 12x
Konklusion
I intervallet ] -∞ ; ∞ [ er funktionen aftagende.
Dvs. at f(x) = -4x3 - 12x er en monoton aftagende funktion.
I dette eksempel var der ingen løsning til ligningen f ’(x0) = 0. Intet sted har grafen for f derfor en vandret tangent.
Figur 17.1.3. Grafen for funktionen.
Page updated
Report abuse