Hvis man er interesseret i en parabels nulpunkter, dvs. skæring med x-aksen, kan der være tre forskellige tilfælde: Enten vil parablen have to nulpunker, et nulpunkt eller ingen nulpunkter. De tre tilfælde er vist i figur 7.3.2.1. Nulpunkternes x-værdi kalder man for andengradspolynomiets rødder.

For at bestemme rødderne for andengradspolynomiet p(x) = a∙x₀² + b∙x₀ + c skal man løse ligningen p(x₀) = 0. Symbolet x₀ angiver de x-værdier hvor parablens y-værdi er lig med nul. Vi skal altså løse ligningen

a∙x₀² + b∙x₀ + c = 0

Da vi skal løse en andengradsligning, kan vi bruge løsningsformlen fra afsnit 4.7.2. Dette uddybes i det følgende.

Hvis parablen hverken skærer eller tangerer x-aksen, har andengradspolynomiet ingen rødder. Der er derfor ikke behov for nogen formel i dette tilfælde.

I formlen til bestemmelse af andengradspolynomiets rødder, som er vist i figur 7.3.2.2, indgår kvadratroden af diskriminanten. Det er denne del af formlen, der er afgørende for antallet af rødder.

Hvis diskriminanten er positiv, d > 0, kan man beregne kvadratroden af den. Hvis diskriminanten er positiv, er det ensbetydende med b² > 4a∙c, hvilket følgende overvejelse viser:

d > 0

b² - 4a∙c > 0

b² > 4a∙c

Hvis diskriminanten er nul, d = 0, kan man også beregne kvadratroden af den, idet kvadratroden af nul er nul. Men i formlen er det ligegyldigt, om der til sidst i tælleren står ± 0, så i dette tilfælde vi ser bort fra diskriminanten. Hvis diskriminanten er nul, er det ensbetydende med b² = 4a∙c, hvilket følgende overvejelse viser:

d = 0

b² - 4a∙c = 0

b² = 4a∙c

Hvis diskriminanten er negativ, d < 0, kan man ikke beregne kvadratroden af den. Formlen giver i dette tilfælde altså slet ikke mening. Hvis diskriminanten er negativ, er det ensbetydende med b² < 4a∙c, hvilket følgende overvejelse viser:

d < 0

b² - 4a∙c < 0

b² < 4a∙c

Diskriminanten giver os altså et billede af, hvordan grafen for andengradspolynomiet (parablen) opfører sig i forhold til x-aksen. Ved en positiv diskriminant vil parablens grene gå fra toppunktet og i retning af x-aksen, som de vil skære. Ved en diskriminant på nul vil parablens toppunkt ligge oven i x-aksen, mens grenene kan gå opad eller nedad. Ved en negativ diskriminant vil parablens grene gå fra toppunktet og i den modsatte retning af x-aksen, som de altså ikke vil skære. Figur 7.3.2.4 illustrerer diskriminantens betydning for parablens udseende.

Opgave: Bestem rødderne i andengradspolynomiet p(x) = 2x² + 2x - 12

Opgaven betyder, at vi skal løse ligningen p(x₀) = 0.

Vi identificerer koefficienterne a = 2, b = 2, c = -12.

Diskriminanten beregnes d = b² - 4a∙c = 2² - 4∙2∙(-12) = 4 - (-96) = 4 + 96 = 100.

Da d > 0 skal koefficienterne og diskriminanten indsættes i formlen fra figur 7.3.2.2. Vi får:

Opgave: Bestem rødderne i andengradspolynomiet p(x) = -x² + 8x - 16

Opgaven betyder, at vi skal løse ligningen p(x₀) = 0.

Vi identificerer koefficienterne a = -1, b = 8, c = -16.

Diskriminanten beregnes d = b² - 4a∙c = 8² - 4∙(-1)∙(-16) = 64 - 64 = 0.

Da d = 0 skal koefficienterne indsættes i formlen fra figur 7.3.2.3. Vi får:

Opgave: Bestem rødderne i andengradspolynomiet p(x) = 3x² + 2x + 5

Opgaven betyder, at vi skal løse ligningen p(x₀) = 0.

Vi identificerer koefficienterne a = 3, b = 2, c = 5.

Diskriminanten beregnes d = b² - 4a∙c = 2² - 4∙3∙5 = 4 - 60 = -56.

Konklusion

Da d < 0 har andengradspolynomiet ingen rødder.