I matematik angiver en kombination antallet af valg, hvor rækkefølgen ikke betyder noget. Der findes to typer af kombinationer.

Kombinationer hvor gentagelser (tilbagelægning) er tilladt

Fra fem bøtter is - en med vanilje, en med chokolade, en med banan, en med jordbær og en med pistacie - må man i alt tage tre kugler is over i en skål. Man må gerne tage flere kugler fra samme bøtte. Rækkefølgen isen bliver taget i betyder ikke noget, da man kan spise kuglerne i den rækkefølge man vil.

På B-niveau i STX skal vi ikke arbejde videre med denne type kombination.

Kombinationer hvor gentagelser (tilbagelægning) ikke er tilladt

I Danske Spils Lotto trækkes 7 ud af 36 nummererede kugler. Kuglerne lægges ikke tilbage i tromlen, og kan derfor kun trækkes en gang. Man vinder førstepræmien, hvis man har de 7 udtrukne tal på sin spillekupon. Rækkefølgen tallene bliver udtrukket i betyder ikke noget.

For at bestemme antallet af kombinationer i Lotto, bestemmer vi først antallet af permutationer. Vi skal trække 7 bolde ud af 36. Dvs. at n = 36 og r = 7 i permutationsformlen:

P(n,r) = P(36,7) = 42.072.307.200

Hvis rækkefølgen af de udtrukne Lotto-kugler havde betydning, ville der altså være over 42 milliarder mulige spillerækker, hvoraf kun én gav førstepræmien.

Men da rækkefølgen, som kuglerne bliver udtrukket i, ikke betyder noget, er f.eks. rækkerne 3-7-10-22-24-30-34 og 10-30-34-3-24-7-22 ens. Vi skal altså have divideret de over 42 milliarder mulige spillerækker med antallet af ens rækker, for at finde antallet af kombinationer.

Spørgsmålet er: "På hvor mange måder kan 7 tal sættes i rækkefølge?"

Vi bruger multiplikationsprincippet fordi vi både skal have første tal og andet tal og så videre til syvende tal. Der er 7 muligheder for at vælge første tal, 6 muligheder for at vælge andet tal osv. til 1 mulighed for syvende tal:

n = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 ∙ n5 ∙ n6 ∙ n7 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! = 5.040

Når antal permutationer divideres med antal måder de 7 tal kan sættes i rækkefølge på, fås antallet af kombinationer i Lotto til godt 8,3 millioner, som følgende udregning viser:

42.072.307.200 / 5.040 = 8.347.680

Vi vender tilbage til eksempel 7, hvor vi beregnede sandsynligheden for at få 5 kort i samme kulør i første runde i poker. Vi beregnede, at sandsynligheden var 0,20%. Men samtidig bemærkede vi, at dette ikke helt præcist er lig med sandsynligheden for at få en flush, fordi vi havde medtaget antallet af straight flush hænder.

Vi vil her beregne de rigtige sandsynligheder vha. kombinationsformlen.

Antal mulige hænder i poker

Når vi skal have 5 kort ud ad 52 og rækkefølgen ikke spiller noget rolle beregnes antal kombinationer som

K(52,5) = 2.598.960

Straight flush i første runde i poker

En straight flush er 5 kort i rækkefølge i samme kulør. Der er forskellige regler for, hvordan man skal forholdes sig til esset. Her betragter vi de såkaldte "high rules", hvor esset kun kan indgå i enden af en rækkefølge. Dvs. at kun de to følgende rækkefølger med esset er tilladte: Es-2-3-4-5 eller 10-Kn-D-K-Es.

Vi tæller os frem til antallet af straight flush rækkefølger i en kulør: Den første mulige række starter med Es, den anden mulige række starter med 2, den tredje mulige række starter med 3, osv. indtil den sidste og tiende mulige række, der starter med 10. Indenfor hver kulør er der altså 10 mulige straight flush rækker. Disse 10 muligheder skal ganges med antallet af måder, hvorpå vi kan vælge kulør. Antallet af kombinationer, når vi skal vælge 1 kulør ud af 4 mulige, idet vi er ligeglade med hvilken rækkefølge vi betragter kulørerne i, beregnes som

K(4,1) = 4

Det gunstige antal straight flush hænder i poker er derfor

10 ∙ K(4,1) = 10 ∙ 4 = 40

Sandsynligheden for at få en straight flush hånd i første runde er derfor

P( Straight flush ) = "Antal gunstige udfald" / "Antal mulige udfald" 

= 10 ∙ K(4,1) / K(52,5) = 0,000.015 = 0,0015%

Flush i første runde i poker

En flush er 5 kort i samme kulør.

Indenfor en kulør skal vi have 5 kort, dvs. at vi skal vælge 5 ud af 13 mulige. Idet vi er ligeglade med hvilken rækkefølge vi betragter kortene i, beregnes antal kombinationer som

K(13,5) = 1.287

Dette tal skal ganges med antallet af måder, hvorpå vi kan vælge kulør. Antal kombinationer, når vi skal vælge 1 kulør ud af 4 mulige, idet vi er ligeglade med hvilken rækkefølge vi betragter kulørerne i, beregnes som 

K(4,1) = 4

Dvs. i alt 

K(13,5) ∙ K(4,1) = 1287 ∙ 4 = 5.148

Men i disse muligheder indgår der jo de 40 straight flush hænder, som skal trækkes fra. Det gunstige antal flush hænder i poker er derfor

K(13,5) ∙ K(4,1) - 10 ∙ K(4,1) = 5.148 - 40 = 5.108

Sandsynligheden for at få en flush hånd i første runde er derfor

P( Flush ) = "Antal gunstige udfald" / "Antal mulige udfald" 

= 5.108 / K(52,5) = 0,001.965 = 0,1965%