Multiplikationsprincippet består i at man ved uafhængige valg multiplicerer antallet af muligheder ved hvert valg for at finde det samlede antal valgmuligheder. Princippet kaldes også både-og-princippet, fordi man både skal træffe det første valg og det næste valg og det næste valg osv.
Hvis der er n muligheder ved første valg og m muligheder ved andet valg, er der i alt
n ∙ m
mulige måder at vælge på, når man både skal træffe første valg og andet valg.
Eksempel 5
En gymnasieelev vil købe tre bøger i boghandlen og tage dem med på sin sommerferie. Den ene bog skal være en krimi, den anden en satire og den tredje en science fiction. I boghandlen udser eleven sig 5 forskellige krimier, 2 forskellige satirer og 3 forskellige science fictions.
Eleven, der kun skal købe en bog af hver genre, skal foretage tre uafhængige valg. Antallet af forskellige måder bogkøbet kan sammensættes på bestemmes ved at gange antallet af muligheder ved hvert valg sammen.
n = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 5 ∙ 2 ∙ 3 = 30
Additionsprincippet består i at man ved en situation, hvor der skal træffe det ene valg eller det andet valg, Adderes antallet af valgmuligheder ved hvert valg for at finde det samlede antal valgmuligheder. Princippet kaldes også enten-eller-princippet, fordi man enten skal træffe det ene valg eller det andet valg eller det tredje valg osv.
Hvis der er n muligheder ved første valg og m muligheder ved andet valg, er der i alt
n + m
mulige måder at vælge på, når man enten skal træffe første valg eller andet valg.
Eksempel 6
Da eleven fra eksempel 5 kom til at gå i byen aftenen før besøget i boghandlen, er der kun råd til at købe én af bøgerne. Antallet af forskellige måder bogkøbet nu kan sammensætte på bestemmes ved at lægge antallet af muligheder ved hvert valg sammen.
n = n1 + n2 + n3 = 5 + 2 + 3 = 10
Ofte skal man anvende en blanding af multiplikations- og additionsprincipperne, når man skal beregne antal mulige valg.
Eksempel 7
Spillet poker består af to runder. I første runde får man udleveret 5 kort fra et almindeligt sæt spillekort med 52 kort. I anden runde må man bytte nogle af kortene. Efter de to runder satser man penge i forhold til de kort man selv har og de kort man tror modspillerne har. I dette eksempel betragter vi kun første runde.
Hvis man får 5 kort af samme kulør, har man en pokerhånd som kaldes flush. Vi vil beregne sandsynligheden for at få en flush i første runde vha. sandsynlighedsformlen fra figur 9.1.3:
Sandsynlighed = "Antal gunstige udfald" / "Antal mulige udfald"
Antallet af mulige udfald, når man skal have 5 ud af 52 kort
Der er 52 muligheder for det første kort. Herefter er der 51 muligheder for det andet kort. Så 50 muligheder for det tredje kort, 49 muligheder for det fjerde kort og 48 muligheder for det femte kort. Da de fem kort er uafhængige af hinanden, kan vi bruge multiplikationsprincippet til at beregne hvor mange måder vi kan få fem kort på.
52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 = 311.875.200
Antallet af gunstige udfald, når man skal have 5 kort i samme kulør
Det kan være en fordel, hvis man lader som om, at man kan se kortene, og at man selv vælger i stedet for at få dem uddelt tilfældigt. Vi skal altså trække 5 kort med samme kulør. Lad os sige at det skal være 5 hjerter. Der er 13 muligheder for første hjerter. Herefter er der 12 muligheder for andet hjerter. Så 11 muligheder for tredje hjerter, 10 muligheder for fjerde hjerter og 9 muligheder for femte hjerter. Da de fem kort er uafhængige af hinanden, kan vi bruge multiplikationsprincippet til at beregne hvor mange måder vi kan få fem hjerter på.
13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 = 154.440
Vi kunne også have valgt at trække 5 klør. De 5 klør kan selvfølgelig trækkes på lige så mange måder som de 5 hjerter dvs. 154.440. Tilsvarende gælder hvis vi ville trække 5 ruder eller 5 spar.
Da vi enten skal trække 5 hjerter eller 5 klør eller 5 ruder eller 5 spar kan vi bruge additionsprincippet til at beregne det samlede antal gunstige udfald
154.440 + 154.440 + 154.440 + 154.440 = 617.760
Sandsynligheden for at få en flush i første runde er derfor
P( Flush ) = "Antal gunstige udfald" / "Antal mulige udfald" = 617.760 / 311.875.200 = 0,0020 = 0,20 %
Bemærk at den beregnede sandsynlighed er lidt for stor i forhold til de pokersandsynligheder, man kan finde på Internettet. Det skyldes, at vores beregning indeholder kortkombinationer, hvor de 5 kort kan komme lige efter hinanden. F.eks. H3, H4, H5, H6, H7 eller K8, K9, K10, K-knægt, K-dame. Sådanne kombinationer kaldes i poker for straight flush og tilhører dermed en anden kategori af pokerhænder. Så i forhold til pokersandsynlighederne burde vi trække antallet af straight flush hænder fra vores antal af gunstige udfald, inden vi dividerer med antallet af mulige udfald.