Această secțiune introduce pe scurt diferite tehnici pentru analiza simultană frecvență-timp și prezintă algoritmii asociați cu fiecare tehnică. Consultați Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications by Shie Qian and Dapang Chen, Prentice Hall, 1996 pentru o discuție detaliată a acestor algoritmi.

Există două tipuri de reprezentări simultane frecvență-timp, și anume cele liniare și cele biliniare (cuadratice). Toate transformările liniare sunt obținute prin compararea semnalului de analizat cu un set de funcții elementare selectate cu prudență, cunoscute sub numele de funcție de analiză. Ca un exemplu,considerați transformata Fourier F(ω) a unui semnal f(t).

În acest caz, e^{- jωt} este funcția de analiză. Funcțiile elementare selectate în transformata inversă se numesc funcții de sinteză. De exemplu, în transformata Fourier inversă,

e ^jωt este funcția de sinteză. Transformata Fourier de durată-scurtă (STFT) și transformata wavelet sunt două metode utilizate pe scară largă pentru a obține o reprezentare liniară. Wavelet-urile sunt discutate în detaliu în lecția următoare.

Transformata Fourier de durată-scurtă (STFT)

Similar cu exemplul văzut mai sus, pentru STFT în timp-continuu, funcția de analiză și funcția de sinteză au aceeași formă. În acest caz, problema inversă - adică recuperarea funcțiilor de timp originale - este foarte simplă.

Pentru aplicațiile de procesare digitală a semnalului, este necesar să se extindă cadrul STFT pentru semnale discrete în timp. Pentru un semnal discret dat s[i] dat, următoarea ecuație definește STFT pentru 0 ≤ k ≤ L/2:

unde g[m] este un semnal de analiză.

STFT este, de asemenea, numită transformata Fourier rapidă cu fereastră-glisantă (FFT), deoarece o funcție window sparge semnalul în mai multe felii de timp (time-slice). FFT calculează spectrul de frecvență pentru fiecare felie de date din fereastră și apoi luați mărimea pătrată a fiecărei FFT. Rezultatul acestei operații pentru fiecare felie de timp este asociat cu indicele de timp din mijlocul acelei felii particulare de date din fereastră. De exemplu, rezultatul operației pentru time-slice1 este asociat cu indicele de timp t4 și acela pentru time-slice3 este asociat cu indexul t18. Pentru a stabili o spectrogramă tridimensională completă, puteți glisa fereastra la dreapta unul sau mai multe puncte la un moment dat și calculați o nouă spectrogramă.

Considerați un exemplu clasic. Un semnal cunoscut sub denumirea de semnal hopper de frecvență este utilizat pe scară largă în comunicațiile digitale:

Presupunem că doi biți se transmit simultan pe două linii de transmisie. Luăm frecvența corespunzătoare combinației 00 să fie f1, frecvența corespunzătoare lui 01 să fie f2, la 10 să fie f3 și la 11 să fie f4. Atunci, în funcție de ce combinație este transmisă, semnalul saltă între aceste patru frecvențe, de unde și numele de frequency hopper.

Figura de mai jos arată forma de undă în timp a unui semnal hopper de frecvență, spectrul corespunzător calculat prin FFT și distribuția STFT a acestui semnal. De la forma de undă în timp, nu puteți vedea nicio informație de frecvență. Din spectru, puteți vedea că există patru componente de frecvență distincte, dar nu se poate spune când aceste componente au apărut în timp. Reprezentarea STFT oferă atât informații despre timp, cât și despre frecvență în aceeași diagramă. Din această spectrogramă, nu numai că puteți vedea distinct cele patru nivele de frecvență, dar puteți vedea și când aceste frecvențe s-au schimbat în timp.

Distribuția Wigner-Ville

Există diferite modalități de a obține reprezentări frecvență-timp biliniare* simultane. Prima este distribuția Wigner-Ville. Această tehnică este foarte simplă și caracterizează mai bine spectrele dependente de timp ale semnalului decât spectrograma STFT. De asemenea, această distribuție are multe proprietăți utile pentru analiza semnalului.

* Numit biliniar deoarece semnalul x(t) apare de două ori în ecuațiile pentru fiecare reprezentare.

Figura de mai sus arată forma de undă în timp a unui semnal hopper de frecvență, spectrul corespunzător calculat prin FFT și distribuția Wigner-Ville a acestui semnal. De la forma de undă în timp, nu puteți vedea informațiile de frecvență. Din spectru, puteți vedea patru componente de frecvență distincte, dar nu puteți spune când acele componente au apărut la timp. Distribuția Wigner-Ville oferă atât informația de timp cât și de frecvență în același grafic. Dar, după cum puteți vedea din diagramă, deficiența principală a acestei distribuții este interferența termenilor încrucișați. Această interferență are loc la frecvențe la jumătatea distanței dintre cele două frecvențe principale. Dacă există patru frecvențe principale (ca în exemplul de mai sus), există șase termeni datorită interferenței încrucișate. Dar, o bună caracteristică a acestor interferențe este că acestea oscilează puternic între valorile pozitive și cele negative. Aceste părți pozitive și negative se anulează reciproc la mediere. Pentru a face aceasta, puteți aplica un filtru lowpass pentru a reține componentele de frecvență joasă și pentru a elimina părțile de înaltă frecvență. Pentru că eliminarea părților de înaltă frecvență au medii mici, Distribuția Wigner-Ville filtrată lowpass păstrează probabil proprietățile utile cu interferențe reduse pe termen lung.

Există două tipuri de filtre lowpass, și anume tipul liniar și cel neliniar. Există diferite tipuri de filtre liniare. Este interesant de menționat că toate aceste reprezentări liniare pot fi scrise într-o formă generală care a fost introdusă de L. Cohen.

Clasa lui Cohen

Filtrele liniare se încadrează într-o categorie generală cunoscută sub numele de clasa de filtre Cohen. Fără filtrare, distribuția clasei Cohen este aceeași cu Distribuția Wigner-Ville. În JTFA Toolkit, două dintre cele mai frecvente filtre liniare utilizate sunt implementate mai jos. Sunt distribuția în formă de con și distribuția Choi-Williams.

Distribuție în formă de con

Când filtrul lowpass are o formă de con, așa cum este arătat mai sus, distribuția clasei Cohen este cunoscută ca distribuție în formă de con. Figura de mai jos arată distribuția în formă de con a semnalului hopper de frecvență.

Distribuția Choi-Williams

Când filtrul lowpass are o formă exponențială, așa cum este arătat mai sus, distribuția clasei Cohen este cunoscută ca distribuție Choi-Williams (CWD). Figura de mai jos arată distribuția Choi-Williams a semnalului hopper de frecvență.

Ambele aceste filtre liniare oferă o interferență cross-term redusă, în detrimentul unei rezoluții slabe. Când selectați unul dintre acești doi algoritmi folosind controlul JTFA selector de pe panoul frontal al setului de instrumente (discutat în detaliu în secțiunea următoare), vi se cere să setați valoarea unui parametru. Acest parametru vă permite să echilibrați interferența cross-term și rezoluţie. Cu cât este mai mare acest parametru, cu atât este mai mică interferența; dar, interferența mai mică este costul unei rezoluții mânjite. Începeți cu o valoare de 0,5 pentru parametru. Valoarea dorită pentru acest parametru depinde de aplicație; dar, este întotdeauna de dorit să alegeți această valoare, astfel încât să apară mai puține interferențe.

Spectrograma Gabor

Această secțiune discută tipul neliniar al filtrelor lowpass descrise de seria de distribuții frecvență-timp, cunoscut și sub denumirea de Gabor Spectrogram**. Avantajul tipului neliniar de filtre este că oferă atât rezoluție bună cât și mici interferențe cross-term. Spectrograma Gabor descompune distribuția Wigner-Ville ca DC plus un grup de funcții frecvență-timp oscilate.

**Spectrograma Gabor a fost inventată de cercetătorii de la National Instruments și este un brevet National Instruments. A câștigat mai multe premii tehnologice. Pentru mai multe informații despre cum să construiți un astfel de filtru, consultați S.Qian and D.Chen, “Discrete Gabor Transform,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, no. 7, July 1993, pp. 2429-2439

Când selectați spectrograma Gabor folosind JTFA selector de pe panoul frontal al setului de instrumente, vi se cere să alegeți ordinul filtrului. Spectrograma Gabor de ordin inferior are o interferență mai mică, dar o rezoluție mai mică. Spectrograma Gabor de ordin superior are o rezoluție mai bună, dar o mai mare interferență cross-term. Pentru ordin = 0, spectrograma Gabor este similară cu STFT atunci când se utilizează funcția fereastră Gaussian. Pe măsură ce ordinul devine mai mare, spectrograma Gabor converge la distribuția Wigner-Ville. Dar, este mai scump din punct de vedere computerizat. Cea mai bună alegere este de obicei ordinul trei până la patru. În acest caz, spectrograma Gabor nu numai că are o rezoluție mai bună decât STFT, dar deține, de asemenea, o interferență mult mai redusă decât distribuțiile Choi-Williams și Wigner-Ville. Puteți alege Gabor basis pentru a fi de bandă largă, bandă medie sau bandă îngustă. Matching Indicator vă arată cât de aproape aproximează funcția de bază semnalul de intrare. Cu cât este mai mare valoarea, cu atât este mai aproape potrivirea. Figura următoare arată Spectrograma Gabor de ordinul al treilea a semnalului hopper de frecvență.

Pentru a rezuma, ați examinat diferiți algoritmi utilizați în mod obișnuit pentru obținerea unei reprezentări simultane timp-frecvență. A existat o descriere matematică minimă a acestor algoritmi. Dar, dacă ați înțeles discuția de mai sus, sunteți gata să utilizați JTFA toolkit pentru diferite aplicații practice, așa cum veți vedea în secțiunea următoare.

13.3 Despre JTFA Toolkit și aplicațiile sale