Pentru semnale discrete, funcția delta este o formă de undă simplă și are o pereche de transformată Fourier la fel de simplă. Figura 11-1a prezintă o funcție delta în domeniul timp, cu spectrul său de frecvență în (b) și (c). Magnitudinea este o valoare constantă, în timp ce faza este în întregime zero. Așa cum am discutat în ultimul capitol, acest lucru poate fi înțeles prin utilizarea proprietății de expansiune/compresie. Când domeniul timp este comprimat până devine un impuls, domeniul de frecvență este extins până când devine o valoare constantă.

În (d) și (g), forma de undă din domeniul timp este deplasată cu patru și opt eșantioane spre dreapta. După cum se aștepta din proprietățile din ultimul capitol, deplasarea formei de undă din domeniul timp nu afectează magnitudinea, dar adaugă o componentă liniară la fază. Semnalele de fază din această figură nu au fost desfășurate și, prin urmare, se extind numai de la -π la π. De asemenea, observați că axele orizontale din domeniul frecvență variază de la -0,5 la 0,5. Adică, ele prezintă frecvențele negative din spectru, precum și cele pozitive. Frecvențele negative sunt informații redundante, dar ele sunt adesea incluse în graficele DSP și ar trebui să vă obișnuiți să le vedeți.

Figura 11-1 Perechi de funcții delta în formă polară.

Un impuls în domeniul timp corespunde la o magnitudine constantă și o fază liniară în domeniul frecvență.

Figura 11-2 prezintă aceleași informații ca în figura 11-1, dar cu domeniul frecvență în formă dreptunghiulară. Există două lecții care trebuie învățate aici. Mai întâi, comparați reprezentările polară și dreptunghiulară ale domeniilor frecvență. Așa cum este de obicei cazul, forma polare este mult mai ușor de înțeles; magnitudinea nu este nimic mai mult decât o constantă, în timp ce faza este o linie dreaptă. În comparație, părțile reale și imaginare sunt oscilații sinusoidale la care este greu să le atribuiți un sens.

Figura 11-2 Perechi de funcții delta în formă dreptunghiulară.

Fiecare eșantion din domeniul timp rezultă într-o undă cosinus în partea reală și o undă sinus negativă în partea imaginară a domeniului frecvență.

A doua caracteristică interesantă din Fig.11-2 este dualitatea DFT. În vederea convențională, fiecare eșantion din domeniul frecvență al DFT corespunde unei sinusoide în domeniul timp. Totuși, reversul acestui lucru este, de asemenea, adevărat, fiecare eșantion din domeniul timp corespunde sinusoidelor din domeniul frecvență. Includerea frecvențelor negative în aceste grafice permite ca proprietatea dualității să fie mai simetrică. De exemplu, fig. (d), (e) și (f) arată că un impuls la eșantionul numărul patru în domeniul timp are ca rezultat patru cicluri ale unei unde cosinus în partea reală a spectrului de frecvență și patru cicluri ale unei unde sinus negative în partea imaginară. După cum vă amintiți, un impuls la eșantionul numărul patru în partea reală a spectrului de frecvențe are ca rezultat patru cicluri de undă cosinus în domeniul timp. De asemenea, un impuls la eșantionul numărul patru în partea imaginară a spectrului de frecvențe are ca rezultat patru cicluri de undă sinus negativă care se adaugă undei din domeniul timp.

Așa cum am menționat în Capitolul 8, acest lucru poate fi folosit ca o altă modalitate de a calcula DFT (în afară de corelarea domeniului timp cu sinusoide). Fiecare eșantion din domeniul timp are ca rezultat adăugarea unei unde cosinus la partea reală a domeniului frecvență și adăugarea unei unde sinus negative la partea imaginară. Amplitudinea fiecărei sinusoide este dată de amplitudinea eșantionului din domeniu timp. Frecvența fiecărei sinusoide este asigurată de numărul eșantionului al punctului din domeniu timp. Algoritmul implică: (1) trecerea prin fiecare eșantion din domeniu timp, (2) calculul undelor sinus și cosinus care corespund fiecărui eșantion și (3) adunarea tuturor sinusoidelor care contribuie. Programul rezultat este aproape identic cu metoda corelație (Tabelul 8-2), cu excepția faptului că buclele exterioare și interioare sunt interschimbate.

Secțiunea următoare: Funcția Sinc