Rețineți că scopul acestei metode este înlocuirea unei probleme complicate cu câteva probleme ușoare. Dacă descompunerea nu simplifică situația într-un fel, atunci nimic nu a fost câștigat. Există două modalități principale de a descompune semnalele în procesarea semnalelor: descompunerea în impulsuri și descompunerea Fourier. Sunt descrise detaliat în următoarele câteva capitole. În plus, mai multe descompuneri minore sunt utilizate ocazional. Iată scurte descrieri ale celor două descompuneri majore, împreună cu cele trei minore.

Descompunerea în impulsuri

Așa cum este prezentat în Fig. 5-12, descompunerea în impulsuri descompune un semnal din N eșantioane în N semnale componente, fiecare conținând N eșantioane. Fiecare dintre semnalele componente conține un punct din semnalul original, restul valorilor fiind zero. Un singur punct nonzero într-un șir de zerouri este numit impuls. Descompunerea în impulsuri este importantă deoarece permite ca semnalele să fie examinate câte un eșantion la un moment dat. În mod similar, sistemele se caracterizează prin modul în care răspund la impulsuri. Prin cunoașterea modului în care un sistem răspunde la un impuls, ieșirea sistemului poate fi calculată pentru orice intrare dată. Această abordare se numește convoluție și este subiectul următoarelor două capitole.

Descompunerea în trepte

Descompunerea în trepte, prezentată în Fig. 5-13, rupe, de asemenea, un semnal din N eșantioane în N semnale de componente, fiecare compus din N eșantioane. Fiecare semnal component este o treaptă, adică primele eșantioane au o valoare zero, în timp ce ultimele eșantioane sunt o valoare constantă. Considerați descompunerea unui semnal de N puncte x[n], în componentele: x₀[n], x₁[n], x₂[n], …, x_N-1[n]. Al k-lea semnal component, x_k[n], este compus din zerouri pentru punctele de la 0 la k-1, în timp ce punctele rămase au o valoare de: x[k] - x[k-1]. De exemplu, al 5-lea semnal component x₅[n], este compus din zerouri pentru punctele 0 până 4, timp ce punctele rămase au o valoare de: x[5]-x[4]. (diferența dintre eșantioanele 4 și 5 ale semnalului inițial). Ca un caz special, x₀[n] are toate eșantioanele egale cu x[0]. Așa cum descompunerea în impulsuri privește la un punct de semnal la un moment dat, descompunerea în trepte caracterizează semnalele prin diferența dintre eșantioanele adiacente. De asemenea, sistemele se caracterizează prin modul în care ele răspund la o schimbare a semnalului de intrare.

Descompunerea pară/impară

Descompunerea pară/impară, prezentată în fig. 5-14, rupe un semnal în două semnale componente, unul având simetrie pară și celălalt având simetrie impară. Un semnal din N puncte se spune că are simetrie pară dacă este o imagine în oglindă în jurul punctului N/2. Adică eșantionul x[N/2 + 1] trebuie să fie egal cu x[N/2 - 1], eșantionul x[N/2+2] trebuie să fie egal cu x[N/2-2], etc. In mod similar, simetria impară are loc atunci când punctele au amplitudini egale dar sunt opuse în semn, cum ar fi: x[N/2 + 1] = -x[N/2 - 1], x[N/2 + 2] = -x [N/2 - 2], etc. Aceste definiții presupun că semnalul este compus dintr-un număr par de eșantioane și că indicele rulează de la 0 la N-1 Descompunerea se calculează din relațiile:

Aceasta poate părea o definiție ciudată a simetriei stânga-dreapta, deoarece N/2 - ½ (între două eșantioane) este centrul exact al semnalului, nu N/2. De asemenea, această simetrie în afara centrului înseamnă că eșantionul zero necesită o manipulare specială. Despre ce e vorba?

Această descompunere face parte dintr-un concept important în DSP numit simetrie circulară. Se bazează pe vizualizarea sfârșitului semnalului ca fiind conectat la începutul semnalului. Așa cum punctul x[4] este lângă punctul x[5], punctul x[N-1] este lângă punctul x[0]. Imaginați-vă un șarpe care își mușcă coada. Atunci când semnalele pare și impare sunt văzute în acest mod circular, există două linii de simetrie, una la punctul x[N/2] și alta la punctul x[0]. De exemplu, într-un semnal par, această simetrie în jurul x[0] înseamnă că punctul x[1] este egal cu punctul x[N-1], punctul x[2] este egal cu punctul x[N-2], etc. Într-un semnal impar, punctul 0 și punctul N/2 au întotdeauna o valoare zero. Într-un semnal par, punctul 0 și punctul N/2 sunt egale cu punctele corespunzătoare din semnalul original.

Care este motivația pentru vizualizarea ultimului eșantion dintr-un semnal ca fiind lângă primul eșantion? Nu există nimic în achiziționarea de date convenționale pentru a susține această noțiune circulară. De fapt, primul și ultimul eșantion au, în general, mai puțin în comun decât oricare alte două puncte din secvență. Este de bun simț! Piesa lipsă a acestui puzzle este o tehnică DSP numită analiză Fourier. Matematica analizei Fourier vede în mod inerent semnalul ca fiind circular, deși, de obicei, nu are niciun sens fizic în ceea ce privește locul de proveniență al datelor. Vom analiza acest lucru mai detaliat în Capitolul 10. Deocamdată, important lucru de înțeles este că Eq. 5-1 oferă o descompunere validă, pur și simplu pentru că părțile pare și impare pot fi adunate împreună pentru a reconstrui semnalul original.

Descompunerea intrețesută

După cum se arată în figurile 5-15, descompunerea întrețesută rupe semnalul în două semnale componente, semnalul cu eșantion par și semnal cu eșantion impar (să nu fie confundate cu semnale de simetrie pară și impară). Pentru a găsi semnalul de eșantion par, începeți cu semnalul inițial și setați toate eșantioanele numerotate impar la zero. Pentru a găsi semnalul de eșantion impar, începeți cu semnalul inițial și setați toate eșantioanele numerotate par la zero. Este atât de simplu.

La prima vedere, această descompunere ar putea părea trivială și neinteresantă. Acest lucru este o ironie, deoarece descompunerea intercalată reprezintă baza unui algoritm extrem de important în DSP, Transformata Fourier Rapidă (FFT). Procedura de calculare a descompunerii Fourier a fost cunoscută de câteva sute de ani. Din păcate, este frustrant de lentă, de multe ori necesită minute sau ore pentru a fi executate pe computerele actuale. FFT este o familie de algoritmi dezvoltați în anii 1960 pentru a reduce acest timp de calcul. Strategia este un exemplu rafinat de DSP: reduce semnalul la componentele elementare prin utilizarea repetată a transformării intercalate; calculează descompunerea Fourier a componentelor individuale; sintetizează rezultatele în răspunsul final. Rezultatele sunt dramatice; este obișnuit ca viteza să fie îmbunătățită cu un factor de sute sau mii.

Descompunerea Fourier

Descompunerea Fourier este foarte matematică și deloc evidentă. Figura 5-16 prezintă un exemplu al tehnicii. Orice semnal din N puncte poate fi descompus în N+2 semnale, jumătate din ele sunt unde sinus și jumătate unde cosinus. Unda cosinus de frecvență cea mai joasă (numită x_C0[n] în această ilustrație), face zero cicluri complete pe N eșantioane, adică este un semnal DC. Următoarele componente cosinus: x_C1[n], x_C2[n] și x_C3[n], fac 1, 2 și 3 cicluri complete pe N eșantioane, respectiv. Acest model este valabil pentru restul undelor cosinus, precum și pentru componentele undei sinus. Deoarece frecvența fiecărei componente este fixă, singurul lucru care se schimbă pentru descompunerea diferitelor semnale este amplitudinea fiecărei unde sinus și cosinus.

Descompunerea Fourier este importantă din trei motive. În primul rând, o mare varietate de semnale sunt create în mod inerent de sinusoide suprapuse. Semnalele audio sunt un bun exemplu în acest sens. Descompunerea Fourier furnizează o analiză directă a informațiilor conținute în aceste tipuri de semnale. În al doilea rând, sistemele liniare răspund sinusoidelor într-un mod unic: o intrare sinusoidală are întotdeauna o ieșire sinusoidală. În această abordare, sistemele se caracterizează prin modul în care schimbă amplitudinea și faza sinusoidelor care trec prin ele. Deoarece un semnal de intrare poate fi descompus în sinusoide, știind cum un sistem va reacționa la sinusoide permite să fie găsită ieșirea sistemului. În al treilea rând, descompunerea Fourier este baza unei zone largi și puternice de matematică numită analiză Fourier, și transformările Laplace și Z mai avansate. Majoritatea algoritmilor DSP de vârf se bazează pe un aspect al acestor tehnici.

De ce este chiar posibil să se descompună un semnal arbitrar în unde sinus și cosinus? Cum se determină amplitudinile acestor sinusoide pentru un anumit semnal? Ce tipuri de sisteme pot fi proiectate cu această tehnică? Acestea sunt întrebările la care trebuie să răspundem în capitolele ulterioare. Detaliile descompunerii Fourier sunt prea implicate pentru a fi prezentate în această scurtă trecere în revistă. Pentru moment, ideea importantă pentru a înțelege este că atunci când toate sinusoidele componente sunt adunate împreună, semnalul original este exact reconstruit. Mult mai multe despre acest lucru în capitolul 8.

Secțiunea următoare: Alternative la liniaritate