Dacă un semnal este periodic cu frecvența f, singurele frecvențe care compun semnalul sunt multiplii întregi de f, adică f, 2f, 3f, 4f, etc. Aceste frecvențe se numesc armonici. Prima armonică este f, a doua armonică este 2f, a treia armonică este 3f, și așa mai departe. Prima armonică (de exemplu, f) are de asemenea un nume special, frecvența fundamentală. Figura 11-7 arată o exemplu. Figura (a) este o undă sinus pură și (b) este DFT-ul său, un singur vârf. În (c), unda sinus a fost distorsionată prin ciupirea vârfurilor superioare. Figura (d) arată rezultatul acestei distorsiuni în domeniul frecvență. Deoarece semnalul distorsionat este periodic, cu aceeași frecvență ca unda sinus originală, domeniul frecvență este compus din vârful original plus armonici. Armonicile pot fi de orice amplitudine; totuși, ele devin de obicei mai mici pe măsură ce cresc în frecvență. Ca și în cazul oricărui semnal, fronturile ascuțite au ca rezultat frecvențe mai înalte. De exemplu, luați în considerare o poartă logică comună TTL care generează o undă pătrată de 1 kHz. Fronturile se ridică în câteva nanosecunde, rezultând armonici generate la aproape 100 MHz, armonica zece mii!

Figura 11-7 Exemplu de armonici.
Distorsiunea asimetrică, arătată în (c), rezultă în armonici pare şi impare, (d), în timp ce distorsiunea simetrică, arătată în (e), produce numai armonici impare, (f).

Figura (e) demonstrează o subtilitate a analizei armonice. Dacă semnalul este simetric în jurul unei axe orizontale, adică lobii de sus sunt imagini în oglindă ale lobilor de jos, toate armonicile pare vor avea o valoare zero. După cum se arată în (f), singurele frecvențe conținute în semnal sunt fundamentala, a treia armonică, a cincea armonică etc.

Toate semnalele periodice continue pot fi reprezentate ca o însumare a armonicilor, așa cum este descris. Semnalele periodice discrete au o problemă care perturbă această relație simplă. După cum probabil ați ghicit, problema este aliasing. Figura 11-8a arată o undă sinus distorsionată în același mod ca înainte, prin ciupirea vârfurilor superioare. Această formă de undă pare mult mai puțin regulată și netedă decât în ​​exemplul precedent, deoarece unda sinus are o frecvență mult mai mare, rezultând mai puține eșantioane pe ciclu. Figura (b) prezintă spectrul de frecvență al acestui semnal. După cum v-ați aștepta, puteți identifica fundamentala și armonicile. Acest exemplu arată că armonicile se pot extinde la frecvențe mai mari de 0,5 din frecvența de eșantionare și vor fi dedublate (aliased) la frecvențe undeva între 0 și 0,5. Nu le observați în (b) deoarece amplitudinile lor sunt prea mici. Figura (c) prezintă spectrul de frecvență trasat pe o scară logaritmică pentru a arăta aceste vârfuri dedublate de amplitudine mică. La prima vedere, acest spectru pare ca un zgomot aleator. Nu este; acesta este un rezultat al suprapunerii numeroaselor armonici, deoarece acestea sunt dedublate.

Este important să înțelegem că acest exemplu implică distorsionarea unui semnal după ce a fost reprezentat digital. Dacă această denaturare a apărut într-un semnal analogic, ați elimina armonicile necorespunzătoare cu un filtru antialias înainte de digitizare. Aliasing armonic este doar o problemă atunci când operații neliniare sunt efectuate direct pe un semnal discret. Chiar și atunci, amplitudinea acestor armonici dedublate este adesea destul de scăzută încât acestea pot fi ignorate.

Conceptul de armonici este, de asemenea, util pentru un alt motiv: explică de ce DFT vede domeniile timp și frecvență ca periodice. În domeniul frecvență, o DFT cu N puncte constă din N/2+ 1 frecvențe egal distanțate. Puteți vedea frecvențele dintre aceste eșantioane ca (1) având o valoare zero sau (2) nu există. Oricum, ele nu contribuie la sinteza semnalului din domeniu timp. Cu alte cuvinte, un spectru discret de frecvență constă din armonici, mai degrabă decât o gamă continuă de frecvențe. Acest lucru necesită ca domeniul timp să fie periodic cu o frecvență egală cu cel mai mic sinusoid din domeniul frecvență, adică frecvența fundamentală. Neglijând valoarea DC, cea mai mică frecvență reprezentată în domeniul frecvență face un ciclu complet prin fiecare N eșantioane, rezultând în domeniul timp fiind periodic, cu o perioadă N. Cu alte cuvinte, dacă un domeniu este discret, celălalt domeniu trebuie să fie periodic și invers. Acest lucru este valabil pentru toți cei patru membri ai familiei de transformate Fourier. Deoarece DFT vede ambele domenii ca fiind discrete, trebuie să vadă ambele domenii ca fiind periodice. Eșantioanele din fiecare domeniu reprezintă armonici ale periodicității domeniului opus.

Secțiunea următoare: Semnale Chirp