Să rezumăm acest mod de înțelegere a modului în care un sistem schimbă un semnal de intrare într-un semnal de ieșire. Mai întâi, semnalul de intrare poate fi descompus într-un set de impulsuri, fiecare dintre acestea putând fi privit ca o funcție delta scalată și deplasată. În al doilea rând, ieșirea rezultată de la fiecare impuls este o versiune scalată și deplasată a răspunsului la impuls. În al treilea rând, semnalul general de ieșire poate fi găsit adăugând aceste răspunsuri impulsuri la impuls scalate și deplasate. Cu alte cuvinte, dacă știm răspunsul la impuls al unui sistem, atunci putem calcula ce ieșire va fi pentru orice semnal de intrare posibil. Aceasta înseamnă că știm totul despre sistem. Nu se mai poate învăța nimic despre caracteristicile unui sistem liniar. (Totuși, în capitolele ulterioare vom arăta că aceste informații pot fi reprezentate în diferite forme).

Răspunsul la impuls trece printr-un nume diferit în unele aplicații. Dacă sistemul considerat este un filtru, răspunsul la impuls este numit kernel de filtrare, kernel de convoluție sau, pur și simplu, kernel (nucleu). În procesarea imaginilor, răspunsul la impuls se numește point spread function (funcția de răspândire a punctului). În timp ce acești termeni sunt folosiți în moduri ușor diferite, toate înseamnă același lucru, semnalul produs de un sistem atunci când intrarea este o funcție delta.

Figura 6-1 Definirea funcției delta și răspunsului la impuls.

Funcția delta este un impuls normalizat. Toate eșantioanele sale au o valoare zero, cu excepția eșantionului cu număr zero, care are o valoare unu. Funcția delta este identificată cu litera greacă δ[n]. Răspunsul la impuls a unui sistem liniar, uzual notat cu h[n] este ieșirea sistemului când intrarea este o funcție delta.

Convoluția este o operație matematică formală, la fel ca multiplicarea, adunarea și integrarea. Adunarea are două numere și produce un al treilea număr, în timp ce convoluția are două semnale și produce un al treilea semnal. Convoluția este folosită în matematica multor domenii, cum ar fi probabilitatea și statistica. În sistemele liniare, convoluția este utilizată pentru a descrie relația dintre trei semnale de interes: semnalul de intrare, răspunsul la impuls și semnalul de ieșire.

Figura 6-2 prezintă notația atunci când convoluția este utilizată cu sisteme liniare. Un semnal de intrare x[n], intră într-un sistem liniar cu un răspuns de impuls h[n], rezultând un semnal de ieșire y[n]. În forma de ecuație: x[n] * h[n] = y[n]. Exprimat în cuvinte, semnalul de intrare în convoluție cu răspunsul la impuls este egal cu semnalul de ieșire. Așa cum adunarea este reprezentată de +, și multiplicarea de către ×, convoluția este reprezentată de stea *. Este regretabil faptul că majoritatea limbajelor de programare utilizează de asemenea steaua pentru a indica multiplicarea. O stea într-un program de calculator înseamnă înmulțire, în timp ce o stea într-o ecuație înseamnă convoluție.

Figura 6-3 Exemple de filtrare trece-jos (low-pass) și trece-sus (high-pass) utilizând convoluția.

În acest exemplu, semnalul de intrare este format din câteva cicluri de undă sinus plus o rampă lent crescătoare. Aceste două componente sunt separate prin utilizarea răspunsurilor la impuls corect selectate.

Figura 6-3 prezintă convoluția utilizată pentru filtrarea trece-jos și trece-sus. Semnalul de intrare exemplu este suma a două componente: trei cicluri de undă sinusoidală (reprezentând o frecvență înaltă), plus o rampă lent crescătoare (compusă din frecvențe joase). În (a), răspunsul la impuls pentru filtrul trece-jos este o arcadă netedă, rezultând numai o formă de undă rampă care se schimbă lent, fiind trecută la ieșire. În mod similar, filtrul trece-sus (b) permite doar trecerea sinusoidelor cu schimbare mai rapidă.

Figura 6-4 ilustrează două exemple suplimentare privind modul în care convoluția este utilizată pentru a procesa semnale. Atenuatorul inversor (a) schimbă semnalul de sus în jos și își reduce amplitudinea. Derivata discretă (numită și first difference), prezentată în (b), are ca rezultat un semnal de ieșire legat de panta semnalului de intrare.

Observați lungimile semnalelor din Fig. 6-3 și 6-4. Semnalele de intrare sunt lungi de 81 de probe, în timp ce fiecare răspuns de impuls este compus din 31 de probe. În majoritatea aplicațiilor DSP, semnalul de intrare este de sute, mii sau chiar milioane de probe în lungime. Răspunsul la impuls este, de obicei, mult mai scurt, să spunem, câteva puncte până la câteva sute de puncte. Matematica din spatele convoluției nu limitează durata acestor semnale. Cu toate acestea, indică lungimea semnalului de ieșire. Lungimea semnalului de ieșire este egală cu lungimea semnalului de intrare plus lungimea răspunsului la impuls, minus unu. Pentru semnalele din fig. 6-3 și 6-4, fiecare semnal de ieșire este: 81 + 31 - 1 = 111 lungimea eșantioanelor. Semnalul de intrare rulează de la eșantionul 0 la 80, răspunsul la impuls de la eșantionul 0 până la 30 și semnalul de ieșire de la eșantionul 0 la 110.

Figura 6-4 Exemple de semnale procesate utilizând convoluția.

Multe sarcini de procesare a semnalelor utilizează răspunsuri la impuls foarte simple. Cum se arată în aceste exemple, schimbări dramatice pot fi realizate doar cu puține puncte nonzero.

Acum ajungem la matematica detaliată a convoluției. Așa cum se utilizează în procesarea semnalelor digitale, convoluția poate fi înțeleasă în două moduri diferite. Primul analizează convoluția din punctul de vedere al semnalului de intrare. Aceasta implică analiza modului în care fiecare eșantion din semnalul de intrare contribuie la multe puncte din semnalul de ieșire. A doua modalitate se referă la convoluție din punctul de vedere al semnalului de ieșire. Aceasta examinează modul în care fiecare eșantion din semnalul de ieșire a primit informații de la mai multe puncte din semnalul de intrare.

Rețineți că aceste două perspective sunt modalități diferite de a gândi la aceeași operație matematică. Primul punct de vedere este important deoarece oferă o înțelegere conceptuală a modului în care convoluția se referă la DSP. Al doilea punct de vedere descrie matematica convoluției.

Acest lucru reprezintă una dintre cele mai dificile sarcini pe care le veți întâlni în DSP: înțelegerea conceptuală se potrivește cu harababura matematicii folosite pentru a comunica ideile.

Secțiunea următoare: Algoritmul de intrare