În aplicațiile practice, puteți obține doar un număr finit de eșantioane ale semnalului. Când folosiți DFT/FFT pentru a găsi conținutul de frecvență al unui semnal, se presupune că datele pe care le aveți sunt o singură perioadă a unei forme de undă care se repetă periodic. Acest lucru este prezentat mai jos în Figura 4-1. Prima perioadă prezentată este cea eșantionată. Forma de undă corespunzătoare acestei perioade se repetă în timp pentru a produce forma de undă periodică.

Figura 4-1. Forma de undă periodică creată din perioada de eșantionare

După cum se vede în figura precedentă, din cauza ipotezei periodicității formei de undă, se vor produce discontinuități între perioadele succesive. Acest lucru se întâmplă atunci când eșantionați un număr neîntreg de cicluri. Aceste discontinuități "artificiale" apar ca frecvențe foarte ridicate în spectrul semnalului, frecvențe care nu erau prezente în semnalul original. Aceste frecvențe ar putea fi mult mai mari decât frecvența Nyquist și, după cum ați văzut înainte, vor fi dedublate undeva între 0 și fs/2. Spectrul pe care îl obțineți utilizând DFT/FFT, prin urmare, nu va fi spectrul real al semnalului original, ci va fi o versiune împrăștiată. Apare ca și cum energia la frecvența unu "are scurgeri" în toate celelalte frecvențe. Acest fenomen este cunoscut ca scurgere spectrală.

Figura 4-2 prezintă o undă sinus și transformata Fourier corespunzătoare. Forma de undă eșantionată din domeniul-timp este prezentată în Graph 1. Deoarece transformata Fourier presupune periodicitatea, repetați această formă de undă în timp și forma de undă periodică a undei sinus din Graph 1 este prezentată în Graph 2. Reprezentarea spectrală corespunzătoare este prezentată în Graph 3. Deoarece înregistrarea de timp din graficul 2 este periodică, fără discontinuități, spectrul său este o singură linie care prezintă frecvența undei sinus. Motivul pentru care forma de undă din Graph 2 nu are nicio discontinuitate se datorează faptului că ați eșantionat un număr întreg de cicluri (în acest caz, 1) din forma de undă în timp.

Figura 4-2. Unda sinus și transformata Fourier corespunzătoare

În Figura 4-3, vedeți reprezentarea spectrală când eșantionați un număr neîntreg de cicluri ale formei de undă în timp (și anume 1,25). Graph 1 constă acum în 1,25 cicluri ale undei sinus. Când repetați această periodicitate, forma de undă rezultată, așa cum se arată în Graph 2, constă în discontinuități. Spectrul corespunzător este prezentat în Graph 3. Observați cum este acum răspândită energia pe o gamă largă de frecvențe. Această împrăștiere a energiei este o scurgere spectrală. Energia s-a scurs din una din liniile FFT și s-a diminuat în toate celelalte linii.

Figura 4-3. Reprezentarea spectrală la eșantionarea unui număr neîntreg de eșantioane

Scurgerea există din cauza înregistrării în timp finit a semnalului de intrare. Ca să depășească problema, o soluție este de a lua o înregistrare în timp infinit, de la - ∞ la + ∞. Atunci FFT ar calcula o singură linie la frecvența corectă. Așteptarea pentru timp infinit nu este totuși posibilă în practică. Deci, pentru că ești limitat să ai o înregistrare de timp finit, o altă tehnică, cunoscută sub numele de windowing (aplicarea unei ferestre), este utilizată pentru a reduce scurgerea spectrală.

Cantitatea de scurgere spectrală depinde de amplitudinea discontinuității. Cu cât discontinuitatea este mai mare, cu atât mai multă scurgere și viceversa. Puteți utiliza windowing pentru a reduce amplitudinea discontinuității la limitele fiecărei perioade. Constă din înmulțirea înregistrării în timp cu o fereastră cu lungimea finită, a cărei amplitudine variază ușor și treptat spre zero la margini. Aceasta este afișată în figura 4-4, unde semnalul de timp inițial este windowed (înmulțit) cu ajutorul unei ferestre Hamming. Observați că forma de undă în timp a semnalului windowed scade treptat la zero la capete. Prin urmare, atunci când efectuați Analiza Fourier sau spectrală pe date cu lungime finită, puteți utiliza ferestre pentru a minimiza fronturile de tranziție ale formei de undă eșantionate. O funcție fereastră de netezire aplicată datelor înainte de a fi transformate în domeniul frecvență minimizează scurgerea spectrală.

Rețineți că dacă înregistrarea în timp conține un număr întreg de cicluri, cum este prezentată în Figura 4-2, ipoteza periodicității nu are ca rezultat discontinuități și, prin urmare, nu există nicio scurgere spectrală. Problema apare numai atunci când aveți un număr neîntreg de cicluri.

Figura 4-4. Semnalul de timp windowed utilizând o fereastră Hamming

4.2 Aplicații Windowing