Conceptul de corelare poate fi prezentat cel mai bine cu un exemplu. Figura 7-13 prezintă elementele cheie ale unui sistem radar. O antenă special concepută transmite o explozie scurtă de energie a undelor radio într-o direcție selectată. Dacă unda de propagare lovește un obiect, cum ar fi elicopterul din această ilustrație, o mică parte din energie se reflectă înapoi către un radioreceptor situat în apropierea transmițătorului. Pulsul transmis este o formă specifică pe care am selectat-o, cum ar fi triunghiul prezentat în acest exemplu. Semnalul recepționat va consta din două părți: (1) o versiune deplasată și scalată a impulsului transmis și (2) zgomotul aleator rezultat din interferența undelor radio, zgomotul termic în electronice etc. Deoarece semnalele radio călătoresc la o viteză cunoscută, viteza luminii, deplasarea dintre impulsul transmis și cel primit este o măsură directă a distanței față de obiectul care este detectat. Aceasta este problema: având un semnal de formă cunoscută, care este cel mai bun mod de a determina unde (sau dacă) apare semnalul în alt semnal. Corelația este răspunsul.

Corelația este o operație matematică foarte asemănătoare cu cea a convoluției. La fel ca în cazul convoluției, corelația utilizează două semnale pentru a produce un al treilea semnal, numit corelația încrucișată a celor două semnale de intrare. Dacă un semnal este corelat cu el însuși, semnalul rezultat este numit în schimb autocorelație. Mașina de convoluție a fost prezentată în ultimul capitol pentru a arăta cum se efectuează convoluția. Figura 7-14 este ilustrarea similară unei mașini de corelație. Semnalul recepționat, x[n] și semnalul de corelație încrucișată, y[n], sunt fixate pe pagină. Forma de undă pe care o căutăm, t[n], denumită în mod obișnuit semnalul țintă, este cuprinsă în mașina de corelație. Fiecare eșantion din y[n] se calculează prin deplasarea mașinii de corelație la stânga sau la dreapta până când indică eșantionul de lucru. Apoi, eșantioanele indicate de semnalul primit intră în mașina de corelație și sunt înmulțite cu punctele corespunzătoare din semnalul țintă. Suma acestor produse se mută apoi în eșantionul corespunzător din semnalul de corelație încrucișată.

Amplitudinea fiecărui eșantion în semnalul de corelație-încrucișată este o măsură a cât de mult semnalul recepționat seamănă cu semnalul țintă, în acea locație. Aceasta înseamnă că un vârf va apărea în semnalul de corelație-încrucișată pentru fiecare semnal țintă care este prezent în semnalul recepționat. Cu alte cuvinte, valoarea corelației încrucișate este maximizată atunci când semnalul țintă este aliniat cu aceleași caracteristici ale semnalului recepționat.

Ce se întâmplă dacă semnalul țintă conține eșantioane cu o valoare negativă? Nimic nu se schimbă. Imaginați-vă că mașina de corelație este poziționată astfel încât semnalul țintă să fie perfect aliniat cu forma de undă potrivită în semnalul recepționat. Deoarece eșantioanele din semnalul primit intră în mașina de corelație, ele se înmulțesc cu eșantioanele potrivite din semnalul țintă. Neglijând zgomotului, un eșantion pozitiv va fi multiplicat prin el, rezultând un număr pozitiv. De asemenea, un eșantion negativ va fi înmulțit cu el, rezultând, de asemenea, un număr pozitiv. Chiar dacă semnalul țintă este complet negativ, vârful în corelația încrucișată va fi în continuare pozitiv.

Dacă există zgomot pe semnalul recepționat, va exista zgomot și pe semnalul de corelație încrucișată. Este un fapt inevitabil că zgomotul aleatoriu arată o anumită valoare ca orice semnal țintă pe care îl puteți alege. Zgomotul pe semnalul de corelație-încrucișată este doar măsurarea acestei similitudini. Cu excepția acestui zgomot, vârful generat în semnalul de corelație-încrucișată este simetric între stânga și dreapta. Acest lucru este adevărat chiar dacă semnalul țintă nu este simetric. În plus, lățimea vârfului este de două ori lățimea semnalului țintă. Amintiți-vă, corelația încrucișată încearcă să detecteze semnalul țintă, nu să-l recreeze. Nu există niciun motiv să se aștepte ca vârful să semene chiar ca semnalul țintă.

Corelația este tehnica optimă pentru detectarea unei forme de undă cunoscute în zgomot aleator. Adică, vârful este mai mare decât zgomotul folosind corelația decât poate fi produs de orice alt sistem liniar. (Pentru a fi perfect corect, este optim numai pentru zgomotul alb aleatoriu). Folosirea corelației pentru a detecta o formă de undă cunoscută este frecvent numită filtrare potrivită. Mai multe despre asta în capitolul 17.

Mașina de corelație și mașina de convoluție sunt identice, cu excepția unei mici diferențe. După cum s-a discutat în ultimul capitol, semnalul din interiorul mașinii de convoluție este răsturnat de la stânga la dreapta. Aceasta înseamnă că numerele de eșantioane: 1, 2, 3 ... se execută de la dreapta la stânga. În mașina de corelație, acest flip nu are loc, iar eșantioanele se execută în direcția normală.

Figura 7-14 Mașina de corelație.

Aceasta este o prezentare a cum este calculată corelația încrucișată a două semnale. În acest exemplu, y[n] este corelația încrucișată a lui x[n] și t[n]. Căsuța punctată este deplasată stânga sau dreapta astfel că ieșirea sa punctează la eșantionul de calculat în y[n]. Eșantioanele indicate de la x[n] sunt multiplicate prin eșantioanele corespondente din t[n], și produc adunarea. Mașina de corelație este identică cu mașina de convoluție (fig. 6-8 și 6-9), cu excepția că semnalul din căsuța punctată nu este inversat. În această ilustrație, eșantioanele calculate în y[n] sunt numai unde t[n] este complet imersat în x[n].

Deoarece această inversare a semnalului este singura diferență între cele două operații, este posibilă reprezentarea corelației folosind aceeași matematică ca și convoluția. Acest lucru necesită preinversarea unuia dintre cele două semnale de corelat, astfel încât inversarea stânga-dreapta inerentă în convoluție este anulată. De exemplu, atunci când a[n] și b[n] sunt în convoluție pentru a produce c[n], ecuația este scrisă: a[n] * b[n] = c[n]. În comparație, corelația încrucișată dintre a[n] și b[n] pot fi scrise: a[n] * b[- n] = c[n]. Adică, inversarea b[n] stânga-dreapta se realizează prin inversarea semnului indexului, de ex., b[- n].

Nu lăsa similitudinea matematică între convoluție și corelare să vă păcălească; ele reprezintă proceduri DSP foarte diferite. Convoluția este relația dintre semnalul de intrare al unui sistem, semnalul de ieșire și răspunsul la impuls. Corelarea este o modalitate de a detecta o formă de undă cunoscută într-un fundal zgomotos. Matematica similară este doar o coincidență convenabilă.

Secțiunea următoare: Viteza